Il vero problema con la teoria degli insiemi è che... non esiste. Nel senso preciso che non esiste una e una sola teoria degli insiemi canonica, universale, definitiva. Ovvero "la" teoria degli insiemi, quella che ogni STEM pensa di conoscere. Ecco, quella non esiste proprio.
Anche limitandosi alla teoria più diffusa in ambito didattico, quella che porta i nomi di Zermelo e Fraenkel associati alla C di Choice, l’assioma di scelta — appunto, la ZFC —, la brutta notizia è che tale teoria non coincide propriamente con la versione che quasi tutti gli studenti delle discipline STEM hanno incontrato nel proprio percorso di studi. Una versione che, ben che vada, si presenta come un ibrido tra teoria ingenua degli insiemi, notazione d’uso corrente e qualche principio compatibile con l’impostazione ZFC, lasciando naturalmente fuori quasi tutto ciò che appartiene alla teoria degli insiemi come disciplina specialistica: indipendenza, forcing, grandi cardinali e parecchio altro.
Fino a qui, tuttavia, nulla di strano o scandaloso.
Alla studentessa diciottenne che si presenta a scuola guida per conseguire la patente B non viene certo spiegata la meccanica di un moderno trattore agricolo, la conduzione di una macchina da fronte cava, l’ordine delle leve di una gru portuale gommata, il funzionamento di un irroratore semovente New Holland o l’impiego di una gettaponti del Genio. Non perché questi mezzi siano “meno reali” dell’utilitaria con la quale farà l’esame, ma perché non le servono per guidare correttamente nel traffico ordinario.
Allo stesso modo, a un futuro ingegnere, fisico, chimico, informatico, biologo o economista vengono normalmente forniti gli strumenti insiemistici che occorrono a superare qualche esame e fare un lavoro concettuale complessivamente dignitoso: appartenenza, inclusione, unione, intersezione, prodotto cartesiano, relazioni, funzioni, qualche nozione di cardinalità.
Informatici ed elettronici arrivano poi ad intravedere la stretta relazione tra teoria elementare degli insiemi e algebra booleana. Chi segue almeno un corso su ordini parziali e reticoli arriva a toccare con mano Birkhoff e il teorema di rappresentazione, l'insieme potenza col suo reticolo, il ring of sets, l'anello booleano, magari con qualche stridore con le definizioni già viste nelle sigma-algebre, teoria della misura, probabilità. Chi poi, magari in regime di Vecchio Ordinamento, ha avuto la discutibile fortuna di incontrare la singolarità, quell'immancabile docente che per inclinazione personale o "perché apre la mente" infarcisce un intero ciclo di lezioni con nozioni fondazionali avanzate, ha probabilmente visto (e pure dimenticato lestamente) ben più di quanto volesse mai sapere in proposito. Il resto rimane consapevole appannaggio di pochi specialisti.
Ed è giusto così. Quella della didattica di base è una dotazione di servizio estremamente utile. Non pretende, e soprattutto non ha bisogno, di essere una ricognizione generale sui fondamenti della matematica, su un secolo abbondante di discussioni e sistemazioni tecniche in ambito logico-fondazionale, preceduto da vari secoli di riflessioni filosofiche di altissimo livello sulla natura dei numeri e di altri oggetti matematici.
Oltre il labirinto della villa
Il problema vero però nasce quando, forse per una forma di (comprensibile?) pudore nei confronti del lettore non specialista, la divulgazione mostra sempre e soltanto la meta più turistica e lascia involontariamente l’impressione che oltre quella non vi sia molto altro da vedere.
Immaginiamo allora, come facile metafora, una grande villa palladiana. Percorriamo lo splendido labirinto davanti alla facciata e, se la guida non ci dice altro, potremmo andarcene convinti che l’intera proprietà coincida con quel labirinto. Nella nostra metafora logico-matematica, invece, dietro le siepi, oltre l’edificio e fuori dai percorsi principali esistono dozzine di altri giardini, cortili, dehor, patio coperti, giardini d’inverno e spazi organizzati secondo criteri differenti.
Ecco, per la logica e i fondamenti della matematica accade qualcosa di molto simile. Esistono differenti teorie degli insiemi. Di norma hanno assiomi diversi, obiettivi diversi e, in alcuni casi, perfino logiche sottostanti differenti. Non sono negozi concorrenti nella stessa via e neppure “versioni successive” dello stesso software, delle quali l’ultima rende obsolete tutte le precedenti. Sono apparati concettuali differenti. Un treno, una portaerei, un Cessna ultraleggero e uno slittino da bob non sono quattro (cattive) soluzioni allo stesso problema di trasporto. Sono oggetti progettati per problemi differenti.
Questo piccolo allargamento del panorama ha conseguenze immediate quando usiamo "la teoria degli insiemi" (sì, ma... quale?) per parlare dei numeri. Specialmente con dei profani, dei lettori colti ma non specialisti.
Che cos’è un numero?
La domanda sembra infantile fino a quando non proviamo seriamente a rispondere. Da secoli matematici, logici e filosofi discutono della natura degli oggetti matematici. E non lo fanno come chierici medievali intenti a stabilire il sexus angelorum. Il problema è dannatamente reale e, per quanto ne sappiamo, ben lontano dall’essere liquidato una volta per tutte.
Una cosa è mostrare che i numeri possono essere rappresentati all’interno di una determinata teoria, come fanno molte fonti divulgative anche eccellenti. Un’altra cosa è però concludere che quella rappresentazione ci abbia finalmente rivelato ciò che i numeri “sono veramente”.
Una delle costruzioni più belle e celebri è naturalmente quella associata a John von Neumann:
- Si parte dall’insieme vuoto, che rappresenta lo zero.
- L’uno contiene lo zero.
- Il due contiene zero e uno.
- Il tre contiene zero, uno e due.
- E così via.
Già qui compare un piccolo effetto “a-ha” che merita di essere gustato. Un numero naturale possiede infatti almeno due aspetti che ci sono familiari fin dall’infanzia: può dirci “quanti sono” (è il suo aspetto cardinale), oppure può dirci “in quale posizione sono” (è il suo aspetto ordinale). Nella costruzione di von Neumann queste due idee si saldano con un’eleganza straordinaria.
Chiediamo al numero sette: quanti sono i tuoi predecessori? Zero, uno, due, tre, quattro, cinque e sei. Contiamo con le dita. Perbacco, sono proprio sette. Più dantescamente, potremmo anche chiedergli: “Chi fuor li maggior tui?”, purché si eviti alla radice ogni indebita confusione tra "maiores" qui usato strettamente nel senso latino di "antenati" (come nella notissima espressione "mos maiorum") e il "maggiore/minore” delle relazioni d’ordine. Perché qui i predecessori vengono sì "prima", ma... sono strettamente minori. Spigolature da logici, senza voler scavare ulteriormente nella questione dell'ordine, che ci porterebbe troppo lontano.
Il caso dello zero (e un vecchio relitto scolastico)
Vale invece la pena fermarsi proprio sul primo nome di quell’elenco: zero. Lo zero non è un intruso aggiunto successivamente ai naturali per comodità di calcolo. Nella costruzione che stiamo usando non c’è alcun bisogno di una convenzione supplementare: è il primo numero naturale.
- Quanti predecessori ha zero? Nessuno. Dunque, quanti sono? Zero.
- Quanti predecessori ha l’uno? Uno solo: lo zero.
- Quanti predecessori ha il due? Due: zero e uno.
La costruzione rende quindi del tutto naturale far cominciare i naturali da zero. Esistono naturalmente testi, tradizioni e contesti specialistici nei quali si preferisce chiamare “naturali” soltanto uno, due, tre e così via, riservando eventualmente una notazione distinta all’insieme che comprende anche zero. Ed esistono testi di altissimo livello, monografie, Testi Sacri di interi settori combinatori o di discretistica che — nel pieno del loro oggetto sociale! — usano contemporaneamente i naturali che includono lo zero, i naturali strettamente positivi e gli intervalli iniziali di ambedue, ovviamente con simboli ben distinti.
Questa è una convenzione notazionale: perfettamente legittima quando viene dichiarata e conveniente per problemi locali molto specifici o teorie di nicchia che richiedono particolari stili dimostrativi. Ma non bisogna scambiarla per una “necessità” matematica. Nella teoria degli insiemi, nella logica, nell’informatica, nella combinatoria e in moltissimi altri contesti moderni, comprendere zero fra i naturali è la scelta più strutturalmente naturale: zero rappresenta la quantità nulla, costituisce il punto iniziale della successione ed è precisamente il naturale che possiede zero predecessori.
Anzi, possiamo approfittarne per sistemare anche un piccolo relitto della didattica scolastica che molti lettori con qualche primavera in più ricorderanno bene: zero è anche il primo numero naturale pari.
Per decenni si è ripetuto nelle scuole di ogni ordine e grado che i numeri pari sono quelli “divisibili per due”, tanto che ancora nel terzo millennio capita di incontrare qualche mal informatizzato che tenta maldestramente di “correggere” chi è più aggiornato in proposito. Il fatto è che la frase, se interpretata matematicamente nel modo corretto, non è affatto falsa: anche zero è divisibile per due. Il problema era semmai la vulgata scolastica che associava implicitamente “divisibile” a una divisione fra numeri positivi, finendo così per lasciare lo zero in una specie di limbo.
Formulare la questione in termini di multipli rende invece immediatamente visibile la struttura. Un numero intero è pari quando è un multiplo di due. E zero è un multiplo di due, perché è due moltiplicato per zero. Non occorre quindi introdurre alcuna eccezione, alcun caso limite e alcuna clausola speciale per “salvare” lo zero. Al contrario: includerlo rende tutto più semplice.
La cosa diventa ancora più trasparente appena ci spostiamo di mezzo passo verso l’algebra. Gli interi pari sono quelli che appartengono alla stessa classe di zero quando consideriamo il resto della divisione per due: ..., meno quattro, meno due, zero, due, quattro, ... Gli altri interi appartengono alla classe di uno. La parità non è dunque una curiosità scolastica fondata sull’ultima cifra di un numero scritto in base dieci. È una struttura algebrica elementare. E zero appartiene senza esitazioni alla classe dei pari.
Zero naturale, zero cardinale, zero ordinale e zero pari non sono quattro accomodamenti indipendenti. Si incastrano perfettamente nello stesso quadro. Ed è proprio questa eleganza a rendere la costruzione di von Neumann così importante.
Rappresentazione, struttura ed esistenza
Ma attenzione: dal fatto che possiamo rappresentare il numero tre mediante un determinato insieme non segue automaticamente che abbiamo dimostrato che il numero tre sia, in senso ultimo e necessario, proprio quell’insieme. Possiamo infatti costruire sistemi differenti che realizzano la stessa aritmetica.
È un po’ come accade in informatica. Lo stesso dato può essere rappresentato in modi differenti. Un carattere alfabetico può essere codificato mediante una determinata sequenza di bit, ma nessun informatico concluderebbe per questo che la lettera A, nella sua essenza metafisica, “è” quella particolare sequenza. La codifica funziona. Conserva ciò che ci interessa. Può essere standard, elegantissima, efficientissima. Rimane però una codifica. Una rappresentazione. Naturalmente il caso dei numeri è assai più sottile del lavoro di una commissione su Unicode, ma la distinzione concettuale è la stessa: teoria, modello, struttura e rappresentazione non sono sinonimi.
Ed è qui che qualche nome storico diventa davvero utile, senza namedropping gratuito.
Leopold Kronecker insistette con forza sul ruolo privilegiato dell’aritmetica finita e delle costruzioni effettive. È rimasta celebre la frase tradizionalmente attribuita a Kronecker, probabilmente più citata che meditata, secondo la quale i numeri interi sarebbero opera di Dio e tutto il resto opera dell’uomo. Non bisogna ovviamente trasformare il buon Kronecker in un Bishop ante litteram: i contesti e i programmi sono differenti. Ma con lui appare chiaramente una domanda che continuerà a riemergere: quanta matematica possiamo costruire partendo da risorse elementari, controllabili, effettive?
Richard Dedekind affrontò il problema da un’altra direzione. Per Dedekind i numeri naturali non sono interessanti principalmente per il materiale di cui potremmo immaginarli costituiti, ma per la struttura che formano e per le relazioni che li organizzano. È un passaggio concettuale enorme. Ci si può interessare meno alla domanda “di che cosa è fatto il tre?” e di più alla domanda “quale posto occupa il tre, quali relazioni intrattiene con gli altri numeri, quali operazioni sono definite e quali proprietà rimangono invarianti?”. Qui emerge una delle grandi idee della matematica moderna: molto spesso la struttura conta più del materiale con cui scegliamo di rappresentarla.
Edmund Landau mostrò poi, con una disciplina quasi ascetica, fino a che punto si possa procedere stabilendo con chiarezza i punti di partenza e costruendo pazientemente ciò che serve, senza fingere che ogni passaggio sia "ovvio" soltanto perché lo abbiamo imparato alle elementari. Von Neumann offre una realizzazione insiemistica di straordinaria eleganza. Ma nessuno di questi passaggi ci obbliga a concludere che sia stata scoperta la “sostanza ultima” del numero.
Anzi, il Novecento ha mostrato quanto possa essere fecondo cambiare prospettiva. Errett Bishop, per esempio, dimostrò che enormi porzioni dell’analisi possono essere ricostruite secondo criteri costruttivi molto più severi di quelli abitualmente adottati dalla matematica classica. Il punto interessante, per il lettore generalista, non è certo imparare interi manuali di matematica costruttiva. È scoprire che perfino una parola apparentemente innocente come “esiste” può essere sottoposta a requisiti differenti.
Per il matematico classico può essere sufficiente, in molti casi, dimostrare indirettamente che l’oggetto non può non esistere. Il costruttivista può chiedere qualcosa di più: mostrami l’oggetto, dimmi come ottenerlo, forniscimi una procedura. Non sono due tifoserie che litigano su quale matematica sia “vera”. Sono criteri differenti riguardo a ciò che una dimostrazione deve fornire.
Ed è qui che acquistano una loro dignità anche certe tradizioni di dimostrazione fortemente esplicita e combinatoria, come quelle che hanno caratterizzato tanta parte della grande scuola matematica magiara. Non si tratta necessariamente di costruttivismo nel senso filosofico rigoroso di Bishop. È piuttosto una propensione a mostrare il meccanismo: costruire l’oggetto, modificare una configurazione, contare, fornire una procedura, rendere visibile ciò che accade. Una prova che dice soltanto “esiste almeno un oggetto con queste proprietà” e una prova che aggiunge “ecco come costruirlo, in quanti passi e con quali dati” possono dimostrare formalmente lo stesso enunciato, ma non possiedono necessariamente lo stesso contenuto informativo.
Proof mining, modelli e universi finiti
E qui arriva un’ulteriore sorpresa. Si potrebbe pensare che, una volta ottenuta una dimostrazione classica puramente esistenziale e non costruttiva, ci si debba accontentare necessariamente del “per ogni X esiste Y tale che...”. Non è necessariamente così. Esiste addirittura un programma di ricerca chiamato proof mining, letteralmente “estrazione mineraria dalle dimostrazioni”.
Il nome è particolarmente felice. Una dimostrazione può apparire in superficie completamente qualitativa e non costruttiva. Può utilizzare principi di esistenza, compattezza, convergenza e altri strumenti dai quali non emerge immediatamente alcun algoritmo. Il proof mining entra invece nella struttura logica della prova e cerca ciò che vi è nascosto. Per vaste classi di dimostrazioni è possibile estrarre informazioni quantitative ed effettive che l’enunciato originale non mostrava affatto: limiti espliciti, maggiorazioni, procedure, stime quantitative, informazioni computabili.
Non esiste naturalmente una sorta di macchina universale nella quale infilare qualunque dimostrazione e ritirare dall’altra parte un algoritmo pronto all’uso. Ma esiste una robusta silloge di tecniche proof-theoretic di altissimo livello che consente sistematicamente di recuperare contenuto costruttivo da importanti famiglie di prove apparentemente non costruttive. Il risultato è concettualmente sorprendente: una dimostrazione che sembrava limitarsi a dire “qualcosa esiste” può contenere, nascosta nella propria architettura logica, molta più informazione di quella che il suo autore aveva scritto sulla pagina. È un altro buon motivo per non immaginare la logica come il reparto catastale della matematica.
La teoria dei modelli offre un’altra finestra importante. Wilfrid Hodges, tra molti altri, ha mostrato magnificamente quanto sia fecondo studiare non soltanto formule e assiomi, ma le strutture nelle quali essi vengono interpretati. Per il lettore non specialista basta un’idea semplicissima: una teoria non è il mondo che descrive. È un insieme organizzato di condizioni. Possiamo allora domandarci quali strutture soddisfino quelle condizioni, quante siano, quali proprietà condividano e quali differenze presentino.
A questo punto compare un’altra distinzione che la divulgazione elementare quasi sempre lascia sullo sfondo: quella fra mondo finito e mondo infinito. Non sono semplicemente la stessa matematica “con numeri più grandi”. Passando dall’infinito al finito, e viceversa, cambiano interi paesaggi logici. Teoremi metateorici potentissimi per classi arbitrarie di strutture possono non avere un analogo finito, oppure cambiare completamente comportamento quando ci restringiamo ai soli modelli finiti. Viceversa, nel finito diventano centrali domande legate ad automi, database, circuiti, sistemi di transizione, reti e complessità computazionale.
E qui l’informatica torna a essere un’ottima guida intuitiva. Possiamo perfino decidere deliberatamente di lavorare in un universo enorme ma finito. Prendiamo, per esempio, parole di 512 bit. Le configurazioni possibili sono 2512. È un numero finito, ma talmente grande da risultare più che sufficiente per una quantità enorme di matematica effettivamente computabile. In un sistema elementare finitario costruito appositamente per questo scopo — un esempio è EPL — si può partire da una struttura algebrica semplicissima basata sui bit e sull’operazione XOR, e derivare successore e predecessore come operazioni parziali: funzionano là dove devono funzionare e cessano semplicemente di essere definite al bordo del dominio scelto.
È una concezione che si collega naturalmente al lavoro sulle funzioni e sulle operazioni parziali, studiato fra gli altri da Solomon Feferman. Non siamo obbligati a fingere che ogni operazione debba essere definita ovunque. Possiamo costruire oggetti numerici rigorosi anche entro universi finiti, usando frammenti opportunamente scelti della logica del primo ordine. Naturalmente nessuno sta sostenendo che questo sia “il vero modo” di costruire i numeri. Il punto è precisamente opposto: esistono molti modi rigorosi di organizzare il paesaggio numerico, a seconda di ciò che vogliamo studiare.
Il mestiere del logico, la nitroglicerina e il centro a sei assi
Ed è qui che possiamo capire meglio sia cosa possano essere i numeri, sia che cosa faccia realmente un logico. Nell’immaginario comune il logico viene talvolta rappresentato come un fastidioso agrimensore che arriva quando gli altri matematici hanno terminato il lavoro, con piano regolatore sotto il braccio, teodolite in una mano e doppio decametro nell’altra, per misurare le sudate dimostrazioni altrui e stabilire se siano conformi alle norme.
È una caricatura piuttosto lontana dalla realtà. Il logico assomiglia molto di più al certificatore che entra in un’azienda, studia i processi produttivi, individua dipendenze inutili, segnala i colli di bottiglia, suggerisce ottimizzazioni e stabilisce quali condizioni debbano essere rispettate perché il sistema continui a funzionare. È quello che scrive nei manuali che no, i TIR non devono attraversare il reparto delle macchine a controllo numerico. Che la macchinetta del caffè non va collocata accanto all’altoforno “così si scalda prima”. E che la benzina non è, in generale, il fluido più indicato per spegnere un principio d’incendio.
“In generale”, però, è l’espressione chiave. Perché esistono situazioni nelle quali una procedura apparentemente assurda... è esattamente quella corretta. Chi ricorda film come Il salario della paura sa bene che l’incendio furioso di un pozzo petrolifero può richiedere un’esplosione controllata per essere arrestato, e che la nitroglicerina necessaria allo scopo non è precisamente il genere di materiale che si trasporta con nonchalance.
La buona competenza non consiste quindi nell’imparare una lista di divieti. Consiste nel sapere quali strumenti siano appropriati in quali condizioni. La nitroglicerina certamente non serve per spegnere il cestino della carta. Ma quando serve davvero la nitroglicerina, presentarsi con l’estintore da ufficio non è una dimostrazione di elegante parsimonia.
Anche in logica i principi non sono comandamenti appesi al muro senza condizioni d’impiego. Uno strumento inutilmente potente in un certo contesto può essere esattamente quello necessario in un altro. La logica, insomma, non fornisce soltanto gli attrezzi. Fornisce anche l’impianto elettrico, l’illuminazione, le procedure di sicurezza, le condizioni ambientali e perfino, continuando la metafora, il trattamento dei rifiuti necessario affinché lavoratori molto diversi possano svolgere correttamente il proprio compito.
Ecco perché servono strumenti logici differenti. Un boscaiolo canadese avrebbe qualche difficoltà a lavorare enormi tronchi usando pinzette a vuoto e saldatori per componenti SMD. E in una camera bianca destinata al recupero dei dati da hard disk elettromeccanici un martello pneumatico probabilmente non sarebbe in cima alla lista dell’ufficio acquisti. Non esiste lo strumento migliore in assoluto. Esiste lo strumento adeguato al problema.
Questa osservazione porta direttamente a una delle discipline più interessanti della logica contemporanea: la reverse mathematics. La domanda abituale è: dati questi assiomi, quali teoremi posso dimostrare? La reverse mathematics prova spesso a percorrere la strada opposta: dato questo teorema, quali risorse sono davvero necessarie per dimostrarlo?
Per chi abbia frequentato anche soltanto marginalmente un reparto industriale, la domanda è immediatamente comprensibile. Immaginiamo di dover produrre un particolare meccanico. Possiamo certamente affidarlo a un centro di lavoro giapponese a cinque o sei assi, con robot asservito capace di riorientare il pezzo, doppio asse rotante, lubrificazione multigetto, atmosfera controllata, guide subcentesimali e tutto ciò che il catalogo consente di ordinare. Con una macchina di quel genere possiamo fare quasi tutto ciò che sia ragionevole fare per asportazione.
Ma la domanda interessante non è: riesce a fare il pezzo? Quasi certamente sì. La vera domanda è: quanto costa? Quanto tempo macchina occupa? Quanta energia consuma? Quanti utensili divora? Quanto costa l’attrezzaggio? Quanto incidono manutenzione e ammortamento? Se lo stesso particolare può essere prodotto in tolleranza con uno stampo costruito in economia nel reparto attrezzeria e un singolo colpo, aver dimostrato che il centro a sei assi riesce comunque a farlo aggiunge ben poca informazione. La vera scoperta è sapere che il centro a sei assi non serve.
In matematica accade qualcosa di molto simile. Dimostrare un teorema usando un apparato potentissimo ci dice che il risultato è raggiungibile. Scoprire che quello stesso risultato richiede risorse molto più modeste ci dice qualcosa sulla struttura del risultato stesso.
E a margine c’è anche un problema di robustezza. Se tutta la produzione dipende da una macchina universale che costa milioni, che cosa facciamo quando quella macchina è ferma per manutenzione programmata o, peggio, imprevista? Fermiamo la fabbrica? Compriamo tre centri di lavoro, per ridondanza? Oppure impariamo a instradare tutto ciò che può essere prodotto nei reparti ordinari verso torni, rettifiche, elettroerosione, presse e macchine dedicate? La buona ingegneria sceglie naturalmente la terza soluzione. La buona logica spesso fa qualcosa di sorprendentemente simile. Sapere che un teorema può essere ottenuto entro un sistema più debole significa conoscere meglio da quali infrastrutture teoriche esso dipenda realmente. Gli assiomi smettono così di sembrare iscrizioni metafisiche incise sulla pietra e diventano risorse di cui possiamo studiare necessità, sufficienza e costo concettuale.
Oggi tutto questo possiede anche un lato estremamente concreto. Nella matematica formalizzata e soprattutto nella verifica industriale di hardware e software, moltissimo lavoro deduttivo, di ricerca, semplificazione e controllo viene eseguito o assistito da theorem prover, proof assistant e solver automatici. La figura romantica del matematico che combatte eroicamente per mesi contro il problema, scrivendo continuamente centinaia di formule su lavagne dalla superficie di un campo di calcio, continua naturalmente ad avere un fondo di verità nella fase creativa. Ma nella verifica formale sarebbe un po’ come pretendere che un ingegnere dimostri la propria abilità girando personalmente il volantino dell’asse X di una macchina utensile.
Il lavoro umano si sposta verso la scelta intelligente della formalizzazione, degli invarianti, dei lemmi, delle librerie e delle strategie. E qui la scelta del sistema logico può avere conseguenze enormi anche in termini di tempo di calcolo. Non esiste una legge banale secondo la quale un sistema più forte sia sempre più lento: talvolta una teoria più ricca rende una prova enormemente più breve. Ma cambiare frammento logico, spazio di ricerca o forma della rappresentazione può significare passare da minuti a ore, da ore a settimane o da una procedura che termina regolarmente a una ricerca per la quale non abbiamo più una garanzia pratica di conclusione. Il costo delle risorse logiche, nel mondo dei prover, smette quindi di essere soltanto una metafora. Diventa tempo CPU, memoria, spazio di ricerca e complessità dell’automazione.
Una carta dei sentieri
Tutto questo può sembrare molto lontano dalla domanda iniziale: cosa sono i numeri? Che vuol dire contare? In realtà ci siamo soltanto accorti che la domanda era più ricca di quanto apparisse.
Possiamo certamente raccontare la costruzione di von Neumann. Dovremmo raccontarla, come fa tantissima divulgazione di ogni livello, perché è bellissima. Possiamo costruire gli interi mediante coppie di naturali, i razionali mediante coppie di interi opportunamente considerate equivalenti e i reali attraverso costruzioni come le sezioni di Dedekind o mediante successioni di Cauchy. È una delle grandi strade maestre della matematica. E possiamo raccontare l’affascinante storia dello zero, ad esempio con Charles Seife. Quello che dovremmo evitare è lasciare al lettore l’impressione che sia l’unica strada concepibile e che, avendola percorsa, abbiamo finalmente scoperto la materia prima di cui i numeri sono fatti.
La divulgazione di base ha uno scopo nobilissimo: incuriosire. Non deve certo trasformarsi in un corso di logica matematica. Ma forse possiamo permetterci un piccolo passo in più. Dopo aver accompagnato il visitatore attraverso il magnifico labirinto della nostra villa immaginaria, possiamo indicare discretamente una porta laterale e dire:
“Se ti è piaciuto questo, sappi che la proprietà si estende molto oltre.”
Dietro quella porta, oltre la siepe, non c’è il buio, come nel titolo di un famoso romanzo. Ci sono Kronecker e Dedekind, Russell e Landau, von Neumann e Halmos, Bishop e Feferman, la teoria dei modelli, le strutture finite, la reverse mathematics, il proof mining e molte altre cose ancora. Ovviamente non occorre visitarle tutte oggi. È già sufficiente sapere che esistono.
E per chi volesse davvero aprire qualcuno di quei cancelli non serve cominciare da un trattato specialistico di mille pagine:
- In italiano, Gabriele Lolli è uno dei punti di partenza più naturali. La sua Guida alla teoria degli insiemi permette di scoprire abbastanza rapidamente che dietro gli insiemi imparati a scuola esistono problemi storici, logici e fondazionali autentici. Sempre di Lolli, Dagli insiemi ai numeri prosegue esattamente nella direzione suggerita dal titolo.
- Per il versante storico e culturale dei numeri, Georges Ifrah e la sua Enciclopedia universale dei numeri costituiscono quasi un continente autonomo. È uno di quei libri che possono essere letti sistematicamente oppure aperti a caso, scoprendo ogni volta quanto lunga, accidentata e tutt’altro che inevitabile sia stata la strada che ha condotto ai nostri sistemi di numerazione e di calcolo.
- Il già citato Charles Seife ricostruisce un percorso affascinante attraverso i secoli, le culture e i continenti per lo zero.
- Una buona biografia di Bertrand Russell è poi estremamente utile prima ancora di affrontarne direttamente le opere logiche. Conoscere l’uomo, il suo ambiente intellettuale e i problemi ai quali cercava di rispondere aiuta enormemente a capire perché certe domande sui fondamenti abbiano occupato alcune delle migliori menti del Novecento.
- Per chi volesse invece cominciare direttamente dalla logica elementare esistono manuali sorprendentemente accessibili. Wilfrid Hodges ha scritto Logica, disponibile anche in edizione italiana, uno dei manuali introduttivi in assoluto più leggibili ancora oggi, anche per chi viene da studi umanistici. Tolte alcune brevi parti più propriamente formali, può essere seguito tranquillamente da filosofi, linguisti, antropologi e semplici curiosi. Parte dal ragionamento ordinario e conduce con gradualità alla logica proposizionale, ai quantificatori e alla logica del primo ordine.
- Accanto a Hodges, Irving Copi e Carl Cohen, con Introduzione alla logica, costituiscono da decenni un altro grande classico dell’insegnamento universitario, soprattutto nelle facoltà filosofiche e umanistiche. L’edizione italiana attraversa argomentazione, linguaggio, definizioni, fallacie, induzione, probabilità e logica simbolica senza presupporre che il lettore sia già un matematico professionista.
Un fatto che merita di essere sottolineato: Hodges e Copi-Cohen non sono “logica annacquata” per chi non sa fare matematica. Sono ottimi manuali di logica elementare. E dimostrano proprio il punto dal quale siamo partiti: non occorre scaricare immediatamente sul lettore metateoremi, gerarchie assiomatiche e pagine di simbolismi esotici per mostrargli che il paesaggio logico è immensamente più vasto di quello che normalmente incontra nell’uso quotidiano della matematica.
Poi, se la curiosità resiste, arriveranno Dedekind, Landau, Bishop, Feferman, la teoria dei modelli, la reverse mathematics e il proof mining. Non è un programma d’esame. È una semplice carta dei sentieri. La buona divulgazione non ha il compito di trascinare il lettore attraverso l’intera proprietà in un tour de force spossante. Deve però mostrargli bene il primo giardino, e possibilmente evitare di chiudere a chiave il cancello che conduce agli altri.
Take home
- Non esiste un'unica teoria degli insiemi: No, non esiste “la teoria degli insiemi” della maestra e fondamentalmente neppure quella dell'assistente di Analisi I. Le teorie insiemistiche importanti sono parecchie — tranquillamente più di mezza dozzina, appena si allarghi lo sguardo oltre l’uso scolastico — e rispondono a esigenze differenti.
- ZFC vs Didattica di base: La teoria oggi più gettonata come fondazione generale, ZFC, somiglia alla “teoria degli insiemi” mediamente ammannita agli studenti non specialisti più o meno quanto una Smart somiglia a una Maserati MC20. Sì: hanno entrambe quattro ruote, un volante, dei sedili e probabilmente anche qualche fusibile identico. Il resto, però...
- Infrastrutture per l'informatica e l'ingegneria: Le “altre” teorie non sono passatempi per logici sfaccendati. Alcune, insieme a logiche differenti o più articolate della classica logica del primo ordine, costituiscono parte dell’infrastruttura teorica di settori enormi dell'ingegneria e dell’informatica, teoriche e applicate: database, verifica formale, semantica dei programmi, automi, model checking, sistemi di tipi, complessità descrittiva e molto altro.
- Pluralità dei sistemi numerici e aritmetici: Si fa presto a dire “numero”. Esistono però parecchie costruzioni e caratterizzazioni possibili, tutte perfettamente legittime nei rispettivi contesti; esistono inoltre aritmetiche e frammenti aritmetici molto differenti fra loro. Alcuni sistemi finiti o sufficientemente "deboli" non ricadono neppure sotto le ipotesi dei classici teoremi limitativi -- come i celebri teoremi di incompletezza di Gödel, che richiedono una soglia minima di potenza aritmetica per innescarsi e che siamo abituati ad associare all’aritmetica sufficientemente espressiva --, teoremi che alcuni abusivamente universalizzano. Non esiste né un unico set di assiomi validi, né un unico modo inevitabile di passare dagli assiomi ai numeri e dai numeri all’aritmetica.
- Il panorama della logica moderna: Esistono intere branche della logica che il laureato STEM medio può non aver mai neppure sentito nominare, ma che diventano sempre più importanti nell’era del calcolo automatico, dei theorem prover, della verifica formale e dell’IA. Ognuna illumina un aspetto differente: reverse mathematics, proof mining, complessità descrittiva, logica algebrica, teoria dei modelli finiti, teoria della dimostrazione, logiche modali e temporali, logiche costruttive, teorie dei tipi e parecchio altro. E in molti di questi ambiti esistono alternative fondazionali serie, tecnicamente mature, che non sono semplici variazioni di notazione intorno a ZFC. Cambiare fondazione, logica sottostante o universo di modelli può modificare quali oggetti ammettiamo, che cosa intendiamo per esistenza, "per ogni", induzione, quali costruzioni consideriamo legittime, come rappresentiamo gli insiemi numerici e perfino quale nozione di cardinalità risulta più naturale, incluse le cardinalità finite. Quelli che al profano possono sembrare sistemi “esotici” sono spesso strumenti costruiti per rispondere a domande precise, esattamente come accade in qualsiasi altro settore scientifico o ingegneristico.
- Last, but not least — "Forte" e "Debole": Il lettore ricordi ora e per sempre che “debole” e “forte”, quando si parla di logiche, teorie, frammenti, sistemi dimostrativi o risultati metateorici, non significano rispettivamente “scadente” ed “eccellente”. Indicano una diversa disponibilità di risorse — espressive, assiomatiche, dimostrative o computazionali, secondo il contesto. La differenza può essere quella che passa fra il martelletto riflessologico del neurologo, una mazza da muratore da 10 kg e il martellone fitness da 30 kg del crossfit box (se preferite c'è anche la versione Thor's Hammer, da strongmen). Tutti e tre sono martelli; nessuno è “migliore” in assoluto. Ora, alzi la mano chi desidera che gli venga controllato il riflesso osteotendineo del tibiale posteriore con l’ultimo dei tre. "Più forte" qui non vuol dire certo "migliore"; vuol dire che può fare più cose, comprese parecchie che in un determinato contesto non vogliamo assolutamente fare (o pagare, in termini di risorse misurabili).
Morale: il vialetto principale è magnifico. Ma la proprietà non finisce al primo cancello.
