Henri Poincaré: applichiamo un operatore discreto per decomporre il nome, l’uomo e il mito.

Ci sono maestri ai quali dobbiamo moltissimo - anche quando, a distanza di anni, ci si accorge di non poterli seguire fino in fondo.

Per chi si è formato fra logica, filosofia della matematica e storia della scienza, nomi come Alexandre Koyré, Gabriele Lolli e Giorgio Israel appartengono senza esitazione a questa categoria. Ci hanno insegnato, ciascuno con strumenti e prospettive differenti, a non leggere la scienza come una successione di formule miracolosamente apparse dal nulla; a ricostruire problemi, linguaggi, contesti e programmi di ricerca; a diffidare delle genealogie troppo semplici e delle storie edificanti scritte dal presente verso il passato.

Proprio per questo possiamo permetterci di applicare il loro stesso metodo anche a uno dei personaggi che più singolarmente hanno affascinato quella cultura scientifica: Jules Henri Poincaré.

Con una premessa che dovrebbe eliminare alla radice qualsiasi equivoco:

"Henri Poincaré è uno dei più grandi matematici della storia."

La frase può tranquillamente rimanere così. Non ha bisogno di essere attenuata, corretta o accompagnata da sorrisetti revisionistici. Il problema nasce quando, quasi impercettibilmente, scompare “uno dei”.

Quando da "uno dei più grandi" si passa a "forse il più grande", poi "il più grande matematico della sua epoca", "l’ultimo matematico universale", fino alle formulazioni nelle quali Poincaré sembra diventare una sorta di punto terminale, attrattore universale verso cui fatalmente convergono matematica, fisica e filosofia scientifica moderne: ecco, questo è un problema.

Non è neppure necessario attribuire direttamente ciascuna di queste formule ai maestri appena ricordati. Il fenomeno è più sottile. Nei maestri troviamo già, talvolta, letture fortemente attualizzanti, talvolta enfatiche o addirittura agiografiche. Nella ricezione successiva basta un solo hop maestro-allievo perché una genealogia diventi anticipazione, un’anticipazione diventi prefigurazione e una prefigurazione finisca per assumere il tono della profezia.

Tra i tanti, proprio Poincaré sembra esserne stato beneficiario in misura straordinaria. Forse conviene allora fare ciò che un matematico farebbe davanti a un oggetto diventato troppo compatto: applicare un operatore discreto e decomporlo nelle sue componenti.

Il nome. L’uomo. Il mito.

Il nome

Cominciamo da ciò su cui non dovrebbe esserci discussione. Henri Poincaré è un gigante.

Non semplicemente "un matematico importante" e neppure soltanto "un grande matematico". Appartiene a quel gruppo estremamente ristretto per il quale l’elenco dei contributi rischia di diventare esso stesso grottesco per lunghezza e varietà.

Meccanica celeste e problema dei tre corpi. Studio qualitativo delle equazioni differenziali. Sistemi dinamici. Funzioni automorfe. Geometria. Topologia e Analysis Situs. Fisica matematica. Elettrodinamica. Trasformazioni di Lorentz. Fondamenti e filosofia della matematica.

Possiamo tranquillamente sottrarre metà degli aggettivi celebrativi e rimane uno dei massimi matematici vissuti fra XIX e XX secolo.

Nel problema dei tre corpi Poincaré individuò strutture omocline destinate ad assumere un’importanza enorme nella successiva teoria dei sistemi dinamici. La linea che da Poincaré conduce a Birkhoff e, attraverso molti altri sviluppi, alla moderna teoria del caos è reale, profonda e storicamente importante.

Ma è, appunto, una linea di sviluppo. Non è la teoria del caos novecentesca già contenuta nelle pagine di Poincaré come Minerva nella testa di Giove.

Analogamente, nei lavori del 1905–1906 Poincaré comprese con profondità eccezionale la struttura matematica delle trasformazioni di Lorentz e contribuì in modo essenziale all’elettrodinamica relativistica. Anche qui non occorre diminuire il risultato di un millimetro per osservare una cosa elementare:

"Anticipare una struttura non equivale ad avere già costruito la teoria nella quale quella struttura acquisterà successivamente il proprio significato."

Due costruzioni possono condividere formule, invarianti e trasformazioni senza coincidere per architettura concettuale, interpretazione fisica e significato epistemologico.

Davanti a qualunque altro autore sarebbe una precauzione metodologica ovvia. Davanti a Poincaré, curiosamente, qualche volta sembra diventare quasi irriverente.

L’uomo

La seconda componente spiega probabilmente una buona parte del fenomeno.

Poincaré non fu soltanto un matematico monumentale. Fu uno dei rarissimi matematici di quel livello capaci di riflettere pubblicamente sulla propria attività scientifica con una prosa limpida, elegante e leggibile anche fuori dalla cerchia degli specialisti.

La Science et l’hypothèse, La Valeur de la science, Science et méthode: già soltanto questa sequenza costituisce uno dei grandi documenti intellettuali fra Otto e Novecento.

Il lettore italiano ha inoltre avuto la fortuna di disporre di traduzioni diventate a loro volta quasi classiche. Dedalo ha pubblicato per molti anni La scienza e l’ipotesi e Il valore della scienza; nel 2022 ha riunito in cofanetto La scienza e l’ipotesi, Il valore della scienza e Ultimi pensieri. A questa costellazione va naturalmente affiancato Scienza e metodo, nell’edizione Einaudi del 1997 curata da Claudio Bartocci.

Vale una piccola precisazione bibliografica: il cofanetto Dedalo non coincide esattamente con la sequenza cronologica delle tre grandi opere epistemologiche La scienza e l’ipotesi, Il valore della scienza e Scienza e metodo, perché sostituisce quest’ultima con i postumi Ultimi pensieri.

Ma sono soprattutto libri che meritano ancora oggi di essere letti. Non come reliquie. Non come curiosità antiquarie. Come libri. Come contributi alla formazione di logici, matematici, filosofi della matematica, gnoseologi ed epistemologi.

Qui sta forse una delle chiavi del fascino.

Gauss, il princeps mathematicorum, non ci ha lasciato una “Filosofia secondo Gauss” scritta con quella brillantezza. Hilbert, per quanto straordinario, non costruisce lo stesso personaggio letterario. Richard Dedekind deve essere ricostruito prevalentemente attraverso la sua matematica e i suoi testi tecnici. Poincaré, invece, si presenta direttamente al lettore e gli racconta che cosa significa, secondo lui, fare matematica e fare scienza.

E lo fa magnificamente. Il rischio è inevitabile: chi sa interpretare così bene la propria attività finisce per apparire anche come il miglior interprete possibile di tutto ciò che da quell’attività nascerà in seguito. Ma le due cose non coincidono.

Il fascino esercitato sui maestri

È difficile non notare quanto Poincaré abbia esercitato un fascino particolare su una parte importante della cultura storico-epistemologica europea del Novecento.

In modi differenti questo clima attraversa Koyré e arriva, nella cultura italiana, a studiosi e maestri come Gabriele Lolli, Giorgio Israel, Edoardo Boncinelli, Umberto Bottazzini e Claudio Bartocci. Profili diversissimi per disciplina e temperamento: logici, storici della matematica, scienziati, epistemologi, curatori. Li accomunava però, in misura differente, una particolare sensibilità verso quella figura ormai quasi irripetibile del savant capace di attraversare matematica, fisica, filosofia e riflessione sulla stessa attività scientifica.

Giorgio Israel, peraltro, fu profondamente inserito anche nella cultura scientifica francese: poliglotta, pubblicò numerosi lavori direttamente in francese e frequentò intensamente quell’ambiente accademico.

Non è una spiegazione psicologica e tanto meno un’obiezione. È semplicemente parte dell’orizzonte culturale nel quale Poincaré veniva letto.

La pagina pubblicata, inoltre, ne restituisce soltanto una parte. Ho avuto la fortuna di ascoltare alcuni di questi maestri dal vivo — lezioni, seminari, conferenze, discussioni meno formali — e ricordo bene che la temperatura dell’ammirazione per Poincaré poteva salire parecchio rispetto alla già elevata temperatura della pagina accademica. Non è certo una testimonianza da trasformare in documento notarile, né pretende di esserlo: appartiene semplicemente alla memoria di quella stagione. Le cautele della scrittura filtravano inevitabilmente entusiasmi che nell’oralità emergevano con maggiore libertà e che, a tratti, potevano assumere un tono apertamente agiografico.

Anche i maestri più rigorosi possono essere meno immuni dal mito quando una figura intercetta profondamente l’atmosfera culturale della loro epoca. Riconoscerlo non significa diminuirli, ma applicare a loro la stessa intelligenza storica che ci hanno insegnato.

E Poincaré offriva qualcosa di irresistibile.

Era il matematico di primissimo rango che parlava di intuizione, invenzione, convenzione, scelta delle rappresentazioni, economia teorica, rapporti fra esperienza e struttura matematica. Era una formidabile alternativa alla patetica caricatura della matematica come macchina deduttiva e del matematico come mero esecutore di conseguenze formali.

Per chi aveva attraversato logicismo, formalismo, intuizionismo, Gödel, crisi dei fondamenti ed epistemologia novecentesca, la tentazione era fortissima:

"Poincaré aveva già capito."

Il problema è precisamente quel “già”. Specialmente perché, se non il maestro in persona, qualcuno inevitabilmente desume che Poincaré “aveva già capito tutto”.

Poincaré come testo generatore: il caso Lolli

Il caso di Gabriele Lolli è particolarmente istruttivo proprio perché non riguarda un divulgatore occasionale, ma uno storico e logico di straordinaria finezza, uno dei più grandi nella storia nazionale.

Nel numero 10 del 1997 de L’Indice, recensendo l’edizione Einaudi di Scienza e metodo, Lolli apre con una formula felicissima:

"Oggi Henri Poincaré assume sempre più il posto che gli compete nella galleria, unica e irripetibile, dei “savants” dell’Europa di un secolo fa."

È difficile trovare una caratterizzazione migliore. Immediatamente dopo, tuttavia, arriva una frase molto più impegnativa:

"Ha fondato ricerche attuali come quelle dello studio qualitativo delle equazioni differenziali, dei sistemi non lineari e del caos, la topologia e altre bazzecole."

La battuta sulle "altre bazzecole" è tipicamente lolliana. Ma proprio l’eleganza della frase rischia di nasconderne la densità storiografica.

Che Poincaré abbia fondato lo studio qualitativo delle equazioni differenziali è difficilmente contestabile. Che sia figura fondativa della topologia è altrettanto ragionevole.

"Ha fondato [...] il caos", invece, opera una compressione temporale assai più forte.

Fra le strutture omocline di Poincaré e ciò che nel secondo Novecento chiameremo teoria del caos stanno Birkhoff, numerosi sviluppi intermedi, nuove nozioni di stabilità e dinamica globale, la topologia dinamica di Smale e molto altro.

Dire che Poincaré è all’origine di questa genealogia è corretto. Dire che "ha fondato il caos" significa già guardare il 1900 dal punto di arrivo del Novecento.

«Il tempo gli ha dato ragione»

Ancora più istruttivo è il passaggio dedicato alle polemiche sui fondamenti. Lolli ricorda l’obiezione poincaréana secondo cui una dimostrazione della non contraddittorietà del principio d’induzione rischiava di impiegare circolarmente proprio lo stesso principio. Poi conclude:

"Il tempo gli ha dato ragione."

Cinque parole, e quasi un intero programma storiografico.

Poincaré aveva individuato un problema reale e profondo. La successiva evoluzione del programma hilbertiano avrebbe mostrato quanto fosse delicato stabilire quali strumenti metamatematici potessero essere ammessi senza reintrodurre surrettiziamente ciò che si pretendeva di giustificare. Ma "il tempo gli ha dato ragione" invita quasi irresistibilmente il lettore a collocare dietro quella frase tutto ciò che verrà dopo: Gödel, Gentzen, teoria della dimostrazione, analisi del finitismo.

La prudente distinzione dovrebbe invece essere: individuare precocemente una difficoltà non equivale a possedere già la teoria che decenni dopo ne determinerà con precisione portata e limiti.

È precisamente in questi piccoli slittamenti che comincia a formarsi e concretizzarsi il Poincaré profetico.

La creatività in matematica: non un capitolo, ma un filo conduttore

Il fenomeno appare con ancora maggiore evidenza in La creatività in matematica. Basta guardare la struttura del volume. Dopo il capitolo iniziale Invenzione, scoperta, creazione, il secondo capitolo porta direttamente il titolo:

"Poincaré e l’inconscio".

Seguono matematica e arti, numeri, matematica contemporanea, logica, Bourbaki, assiomi, dimostrazione, immagini, analogia e metafora, discreto e continuo, mito, computer, cervello. Poincaré, tuttavia, non rimane certo confinato nel secondo capitolo.

L’indice dei nomi lo registra dall’inizio del volume fino alle ultime pagine: 11–12, 21 e seguenti, 35–37, 63, 116, 121, 125, 127–128, 164, 180–181, 187–188, 191, 197. Ma il dato interessante non è soltanto quantitativo. È la dispersione tematica.

Poincaré ricompare quando il discorso si sposta dall’invenzione all’immagine, dall’analogia al mito, dal computer al cervello. Non occupa semplicemente un capitolo: funziona come una sorta di riferimento ermeneutico permanente. E Lolli lo dichiara, in un certo senso, esplicitamente. Nel capitolo sull’inconscio, che è il secondo, ricorda che Hadamard aveva organizzato la propria analisi della scoperta matematica sulla traccia delle osservazioni autobiografiche di Poincaré. Commentando il metodo con cui Poincaré racconta le circostanze della propria invenzione senza gravare il lettore della tecnica del teorema, Lolli scrive in nota:

"Seguiremo in questo libro la stessa strategia [...] non interessa il teorema ma la sua creazione."

Questo è un passaggio metodologicamente decisivo. Poincaré non è più soltanto “uno degli autori” discussi nel libro: fornisce esplicitamente una strategia espositiva e interpretativa assunta dall’autore stesso. La sequenza storica è reale:

Poincaré - Hadamard - Lolli.

Hadamard costruisce realmente una parte importante della propria psicologia dell’invenzione sulle testimonianze di Poincaré. Lolli non inventa quindi alcuna genealogia. La domanda è un’altra: quanto peso teorico possiamo attribuire a una descrizione autobiografica, per quanto straordinariamente acuta?

Inventare è discernere, è scegliere

Qui Poincaré diventa quasi irresistibile. L’invenzione matematica, spiega, non consiste nel produrre indiscriminatamente combinazioni. Il problema è selezionare quelle fertili:

"Inventare è discernere, è scegliere".

La scelta è guidata da quella che Poincaré chiama una sensibilità estetica: percezione dell’ordine, dell’armonia, delle relazioni inattese fra oggetti apparentemente lontani. Poi arriva il celebre racconto autobiografico. Lavoro cosciente. Fallimento. Interruzione. Attività subliminale. Illuminazione improvvisa. Ritorno alla verifica razionale. Le combinazioni che emergono alla coscienza sembrano essere già state sottoposte a un primo filtraggio. Poincaré arriva così ad attribuire al "sé subliminale" capacità di selezione, discernimento e perfino una sorta di tatto matematico. È difficile leggere queste pagine senza avvertire la loro impressionante modernità. Ma è precisamente qui che occorre applicare il nostro operatore discreto:

"Una descrizione fenomenologica eccezionalmente acuta del processo creativo non è ancora una teoria cognitiva moderna della creatività."

Fra le due cose possono esistere continuità, analogie, intuizioni anticipatrici. Non sono però sinonimi. Poincaré descrive ciò che sperimenta e propone un modello interpretativo.

Una moderna psicologia cognitiva dovrebbe invece specificare meccanismi, produrre ipotesi controllabili, distinguere tipi differenti di elaborazione non cosciente, separare memoria, associazione, selezione, insight e verifica. La distanza ovviamente non sminuisce Poincaré. Semplicemente impedisce di trasformare Henri nella Sibilla Cumana della scienza cognitiva. E, parlando di preveggenza, sarà opportuno precisare che ci riferiamo sempre a Henri Poincaré: l’altro Henri, Bergson, aveva per sorella Mina Bergson, meglio conosciuta come Moina Mathers, e in quella famiglia le pretese professionali di divinazione appartenevano semmai a tutt’altro ramo.

Come nasce la profezia: un solo hop

A questo punto il meccanismo diventa visibile. Non abbiamo necessariamente un maestro estremamente prudente seguito da allievi improvvisamente irresponsabili. La sequenza reale può essere molto più sottile:

Poincaré formula un’intuizione autentica → uno storico successivo la legge alla luce di sviluppi posteriori → la definisce anticipazione o sorprendente attualità → un solo hop successivo la trasforma in teoria già posseduta.

Si passa così, quasi senza accorgersene, da:

"Poincaré individuò una difficoltà che diventerà fondamentale"

a:

"Poincaré anticipò la teoria X"

e infine:

"Poincaré aveva già capito ciò che gli altri avrebbero scoperto solo decenni dopo".

È una trasformazione iterata con errore crescente. Ed è tanto più interessante osservarla proprio in una tradizione storiografica così colta, tecnicamente raffinata e normalmente sospettosa verso le narrazioni teleologiche.

Poincaré e Grothendieck: una tentazione molto francese

A latere esiste poi una coppia simbolica particolarmente seducente: Poincaré e Grothendieck. Non certo perché i due matematici siano direttamente comparabili per temi, metodi o temperamento. Quasi il contrario. Ma sono due figure ideali per costruire una grande narrazione della matematica francese: Poincaré come ultimo grande savant universale fra Ottocento e Novecento; Grothendieck come rifondatore radicale di interi territori della matematica del secondo Novecento. È un’accoppiata culturalmente formidabile.

E perfettamente comprensibile. La Francia può mettere sul tavolo due nomi realmente giganteschi, lontanissimi fra loro e capaci entrambi di incarnare un ideale eroico del matematico: da una parte l’intuizione sintetica e la vastità quasi enciclopedica di Poincaré; dall’altra l’ambizione strutturale estrema di Grothendieck e la ricostruzione di intere discipline attraverso nuovi oggetti e nuovi linguaggi. La grandeur, questa volta matematica, viene quasi spontaneamente.

Ma anche qui il problema comincia soltanto quando dall’ammirazione si passa alla classifica. "Due fra i massimi matematici dell’età moderna" è una frase perfettamente difendibile. "I due più grandi" richiede già di spiegare perché Gauss, Euler, Newton, Hilbert, Riemann, Noether, von Neumann e parecchi altri siano stati fatti accomodare in fila fuori dalla stanza.

Un piccolo esperimento di controllo: Gauss

Esiste infatti un test molto semplice per misurare la temperatura dei superlativi. Quando qualcuno arriva a "Poincaré, forse il più grande matematico della storia", pronunciamo sommessamente un nome:

Carl Friedrich Gauss.

Pausa. A quel punto possiamo ricominciare la discussione. Perché se vogliamo davvero costruire una classifica impossibile, Gauss rappresenta un problema quasi insolubile. Teoria dei numeri, algebra, geometria differenziale, geodesia, astronomia, analisi, teoria del potenziale, probabilità, teoria degli errori, magnetismo. Non semplicemente contributi distribuiti in molti settori: in parecchi casi trasformazioni radicali del modo nel quale quei settori formulavano i propri problemi.

E Gauss supera brillantemente anche quello che potremmo chiamare il test di eliminazione agiografica. Cancelliamo gli aneddoti del bambino prodigio. Cancelliamo la somma da 1 a 100. Cancelliamo le scoperte rimaste negli appunti. Cancelliamo tutte le priorità retrospettive dubbie. Di più: cancelliamo pure tutte le occorrenze pari (o dispari, a scelta) del nome "Gauss" da un buon trattato avanzato. È molto probabile che, alla fine, "Gauss" rimanga comunque uno dei cognomi più frequenti dell’intero volume.

Il problema storico con Carl Friedrich Gauss non sembra certo essere la scarsità di riconoscimenti ricevuti. Per questo risultano particolarmente buffe certe narrazioni del tipo "oggi finalmente a Gauss viene riconosciuto il merito" per qualche algoritmo o procedimento moderno che può essere retrospettivamente accostato a un suo metodo. Gauss non è il buon reverendo Kirkman. Non è neppure Schurig o Berger, oscuri scacchisti ottocenteschi dei quali occorre ricostruire la priorità delle celebri tabelle per tornei round robin.

Non necessita di campagne di recupero dall’oblio.

E poi arrivano Birkhoff, Stone e von Neumann

Ma persino Gauss serve soprattutto a mostrare quanto sia mal posta la domanda. Appena si sposta l’asse di valutazione, cambiano i candidati. Se guardiamo alla costruzione strutturale della matematica del Novecento, diventa impossibile ignorare figure come Garrett Birkhoff e Marshall Stone. Se allarghiamo il campo fra matematica pura, fisica matematica, fondamenti, teoria degli operatori, teoria dei giochi e computazione, compare John von Neumann, e qualsiasi graduatoria lineare comincia semplicemente a perdere significato. Profondità, ampiezza, capacità fondativa, influenza, fertilità, permanenza dei risultati, trasformazione dei linguaggi: non esiste una sola coordinata sulla quale ordinare questi matematici. Per questo la formula iniziale era già quella giusta:

"Henri Poincaré è uno dei più grandi matematici della storia."

Non occorre aggiungere altro.

Decomporre non significa demolire

Ed eccoci infine al punto fondamentale. Demistificare Poincaré non significa “ridimensionarlo”. Significa precisamente il contrario. Il matematico reale è infinitamente più interessante della statua, e qui dobbiamo necessariamente pensare al celebre aneddoto della statua sulla colonna che Godfrey Hardy racconta in chiusura dell’Apologia di un matematico. Il Poincaré reale può formulare intuizioni spettacolari senza possedere tutte le loro conseguenze future. Può aprire una strada che Birkhoff o altri percorreranno molti anni dopo. Può utilizzare strutture che assumeranno un significato nuovo dentro teorie non ancora esistenti. Può cambiare posizione. Può sbagliare. Può essere figlio del proprio tempo pur vedendo più lontano di quasi tutti i contemporanei. Ed è esattamente questo che fanno i grandi scienziati.

L’agiografia produce invece un personaggio molto meno interessante: quello che aveva già previsto il caos, già compreso la relatività, già anticipato questo, già intuito quello, già delineato la psicologia cognitiva della scoperta matematica, fino a trasformarsi in una specie di deposito retroattivo nel quale il Novecento può ritrovare praticamente qualunque cosa desideri.

Non serve. Possiamo togliere le retroproiezioni, gli "aveva già capito", qualche priorità costruita per analogia e qualche superlativo particolarmente entusiasta. Dopo l’applicazione dell’operatore discreto, rimane Henri Poincaré: uno dei più grandi matematici della storia, uno scienziato di ampiezza eccezionale, un filosofo della scienza ancora fertilissimo da leggere e uno degli ultimi grandi savants europei. Non è poco. Anzi, è immensamente di più di quanto occorra per non aver bisogno del mito.

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Riferimenti essenziali

H. Poincaré, La scienza e l’ipotesi, Dedalo, Bari, varie edizioni italiane.

H. Poincaré, Il valore della scienza, Dedalo, Bari, varie edizioni italiane.

H. Poincaré, Scienza e metodo, a cura di Claudio Bartocci, Einaudi, Torino, 1997.

H. Poincaré, Ultimi pensieri, Dedalo.

H. Poincaré, cofanetto Dedalo, 2022: La scienza e l’ipotesi, Il valore della scienza, Ultimi pensieri.

H. Poincaré, Geometria e caso, a cura di Claudio Bartocci, Bollati Boringhieri, Torino, 1995.

G. Lolli, recensione a H. Poincaré, Scienza e metodo, L’Indice, 1997, n. 10.

G. Lolli, La creatività in matematica.

J. Hadamard, La psicologia dell’invenzione in campo matematico.

J. Dieudonné, "Poincaré, Jules Henri", in Dictionary of Scientific Biography.

P. Holmes, "Poincaré, celestial mechanics, dynamical-systems theory and “chaos”", Physics Reports, 193 (1990), pp. 137–163.

Matematica... senza numeri.

Prendo in prestito il titolo di un agilissimo libretto divulgativo che però, nei contenuti, non rispecchia esattamente ciò che il sottoscritto pensa quando sente parlare di matematica senza numeri.

Quando si dice “matematica”, il pubblico colto pensa quasi sempre ai numeri, all’analisi, all’algebra lineare e matriciale, alla probabilità, alla statistica. Numeri reali, funzioni, derivate, integrali, matrici, distribuzioni, grafici, regressioni, reti neurali, modelli predittivi. In soldoni: “quella roba che si studia a scuola e all’Università”.

È comprensibile. Per secoli, nella formazione tecnica, la matematica è stata presentata soprattutto come arte del calcolo; a fortiori nel mondo anglosassone, dove l’analisi stessa diventa calculus, nel bene e nel male — per quest’ultimo si può sempre andare a rileggere il magnifico How to Write Mathematics di Paul Halmos.

Calcolare bene. Stimare bene. Approssimare bene. Interpolare bene. Ottimizzare bene.

Tutto vero.

Ma non è tutto.

Esiste una vastissima regione della matematica nella quale i numeri non sono i protagonisti principali. È fatta di insiemi, relazioni, ordini, reticoli, grafi, alberi, parole, formule, termini, chiusure, implicazioni, algebre, morfismi, strutture finite, matrici booleane, funzioni logiche, concetti formali.

È una matematica apparentemente meno “numerica”, ma essenziale per comprendere la computazione, la logica, l’organizzazione dell’informazione, la verifica dei sistemi, la rappresentazione della conoscenza, la progettazione degli algoritmi, le basi di dati, la classificazione, l’analisi dei requisiti, il ragionamento automatico e molta parte dell’odierna intelligenza artificiale, ovvero la reginetta del ballo, la queenie delle cheerleader - almeno fino al prossimo cambio di moda, beninteso.

Prima di cominciare il nostro veloce giro turistico, dunque, conviene aprire la carta geografica.

La mappa del viaggio

Attraverseremo diversi continenti matematici che nei corsi universitari più gettonati vengono normalmente presentati come territori separati (o, peggio, del tutto ignorati):

• insiemi, relazioni, grafi e matrici booleane;
• ordini parziali, chiusure, reticoli e formal concept analysis;
• logica, algebra universale e logica algebrica;
• teoria della dimostrazione, Curry–Howard e Herbrand;
• reverse mathematics e forza assiomatica dei teoremi;
• teoria dei modelli e teoria dei modelli finiti;
• combinatoria, strutture finite e complessità computazionale.

La tesi sarà che non stiamo realmente visitando sette continenti indipendenti. Stiamo invece osservando la stessa geografia strutturale da sette punti di vista diversi.

Il problema dei compartimenti stagni

Queste discipline vengono infatti quasi sempre insegnate per silos.

La teoria elementare degli insiemi? Nel primo capitolo, spesso attraversato in fretta. La logica proposizionale e predicativa? In un corso di logica matematica, oppure come propedeutica all’informatica teorica. I grafi? Algoritmica e matematica discreta. I reticoli? Qui le cose vanno anche peggio: compaiono organicamente, se va bene, in qualche esame avanzato di algebra o in un raro corso di teoria dell’ordine.

L’algebra universale rimane generalmente confinata al settore specialistico. La formal concept analysis è una “modernità” ignota alla maggior parte dei laureati STEM. Le matrici booleane vengono spesso trattate come una variante povera delle “vere” matrici numeriche.

E poi ci sono le relazioni binarie, l’ectoplasma ubiquitario della matematica discreta: compaiono prima nei corsi elementari, poi nei database, poi nei grafi, poi nei preorder, poi nelle congruenze, quasi sempre come se ogni apparizione appartenesse a una specie differente.

Le funzioni booleane subiscono un destino analogo. Elettronica digitale, logica, complessità computazionale, teoria dei circuiti, BDD, algoritmi SAT: una ridda di formalismi, notazioni e linguaggi che raramente vengono ricondotti a un ecosistema unitario.

Questa frammentazione può essere didatticamente comoda.

Concettualmente, però, è disastrosa.

E non serve andare a cercare l’eccezione del docente illuminato che introduce trenta pagine di teoria dell’ordine nelle dispense della magistrale e magari fa studiare anche qualche capitolo del Davey-Priestley, o dello studente particolarmente brillante che intercetta queste connessioni nella propria tesi. Il problema è la norma, non l’eccezione o il singolo controesempio. Ed è una norma che attraversa ormai parecchie generazioni di professionisti STEM.

0. Il vero protagonista: il criptomorfismo

Il nucleo della matematica discreta moderna non è un elenco di argomenti. È una rete di criptomorfismi.

Un criptomorfismo, nel senso più fecondo del termine associato alla tradizione di Garrett Birkhoff e Gian-Carlo Rota, non consiste semplicemente nello scrivere un isomorfismo particolarmente elegante. Consiste nel riconoscere che uno stesso oggetto matematico può presentarsi sotto forme differenti, ciascuna delle quali rende visibili proprietà che nelle altre rappresentazioni rimangono nascoste.

Una famiglia di sottoinsiemi può diventare una matrice booleana.

Una relazione binaria può diventare un grafo diretto.

Un grafo può diventare una matrice di adiacenza.

Una chiusura può diventare una famiglia di insiemi chiusi.

Una famiglia di insiemi chiusi può diventare un reticolo.

Un reticolo può essere studiato attraverso il proprio ordine, attraverso ideali e filtri, elementi irriducibili, congruenze, operatori di chiusura.

Una teoria implicazionale può generare una chiusura.

Una chiusura può descrivere dipendenze funzionali, conseguenze logiche, vincoli, concetti, attributi, proprietà invarianti.

Cambia il linguaggio. Cambia la notazione. Cambia il manuale.

La struttura profonda rimane.

Questo è uno dei punti che più spesso manca nella formazione STEM contemporanea. Abbiamo prodotto generazioni di tecnici perfettamente capaci di manipolare matrici reali, distribuzioni di probabilità, regressioni, big data e reti neurali, ma molto meno allenati a riconoscere la medesima struttura quando passa da una tabella a una relazione, da una relazione a un grafo, da un grafo a un ordine, da un ordine a un reticolo, da un reticolo a una logica, da una logica a un sistema di implicazioni, da un sistema di implicazioni a un algoritmo di chiusura.

Eppure la computazione reale vive precisamente lì.

Un database relazionale non è anzitutto una collezione di numeri: è una struttura di relazioni.

Un sistema di tipi è una disciplina formale di classificazione, inferenza e compatibilità.

Un compilatore manipola alberi sintattici, grammatiche, termini, regole di riscrittura, grafi di controllo, reticoli di analisi statica.

Un sistema di verifica esplora stati, transizioni, invarianti, formule e modelli.

Un algoritmo SAT manipola strutture combinatorie di formule booleane.

Un BDD è una rappresentazione canonica compressa di una funzione logica.

Un sistema di classificazione non è soltanto statistica: è anche ordine, inclusione, dipendenza, gerarchia.

La matematica senza numeri non sostituisce la matematica con i numeri.

La affianca e ne completa la grammatica.

1. Primo continente: ordine, chiusura, reticoli

Il caso della formal concept analysis, FCA, è quasi paradigmatico.

Si parte da un’idea elementare: abbiamo oggetti, attributi e una relazione che specifica quali oggetti possiedano quali attributi.

Da questa struttura apparentemente modesta nasce un intero universo matematico.

Un concetto formale è una coppia costituita, da un lato, dall’insieme degli oggetti che condividono certi attributi e, dall’altro, dall’insieme degli attributi comuni a quegli oggetti.

No, non è psicologia dozzinale da rotocalco. Non è vaghezza semantica. È una definizione matematica rigorosa, computabile e replicabile.

Da questa definizione emerge un reticolo dei concetti.

Ed è qui che avviene il salto concettuale.

Una tabella oggetti-attributi diventa una struttura d’ordine. La classificazione non è più un elenco arbitrario di categorie, ma una struttura nella quale concetti più generali e più specifici sono collegati rigorosamente.

L’analisi dei dati diventa analisi delle implicazioni.

Se tutti gli oggetti che possiedono gli attributi A e B possiedono anche C, otteniamo una regola implicazionale. Le implicazioni generano chiusure. Le chiusure determinano insiemi chiusi. Gli insiemi chiusi ordinati per inclusione formano reticoli.

E improvvisamente siamo dentro una delle strutture portanti dell’algebra, della logica e dell’informatica teorica.

Non è un dettaglio specialistico. È un nodo centrale.

La FCA mostra con una chiarezza quasi brutale che classificare non significa semplicemente apporre etichette. Significa costruire una struttura di dipendenze. Capire quali proprietà ne implicano altre. Individuare gerarchie non arbitrarie. Trasformare dati grezzi in una mappa concettuale formalmente controllabile.

In altre parole: passare dalla tabella alla teoria.

Ecco perché questo mondo dialoga così naturalmente con knowledge representation, ontologie, knowledge graph, basi di conoscenza e sistemi ibridi che gravitano oggi attorno all’intelligenza artificiale.

È precisamente il tipo di passaggio che uno STEM del terzo millennio dovrebbe essere allenato a riconoscere.

2. Secondo continente: quando la logica diventa geometria dell’inferenza

La teoria dei reticoli, in questa prospettiva, smette di essere una curiosità algebrica e diventa una grammatica generale dell’organizzazione.

L’insieme delle parti di un insieme, ordinato per inclusione, è un reticolo booleano completo; più in generale, opportune famiglie di insiemi, ordinate per inclusione e dotate dei necessari infimi e supremi, formano reticoli. Le proposizioni ordinate attraverso l’implicazione generano reticoli. Le partizioni possono essere ordinate per raffinamento. Famiglie chiuse, ideali, filtri, congruenze e molte altre costruzioni parlano il linguaggio dell’ordine.

Uno dei luoghi in cui questa costellazione diventa particolarmente impressionante è il rapporto tra logica e teoria dei reticoli.

A prima vista sembrano discipline lontane. La logica parla di proposizioni, dimostrazioni, conseguenze, modelli, verità, inferenza. La teoria dei reticoli parla di ordini parziali, estremi superiori e inferiori, chiusure, ideali, filtri e congruenze.

Ma gran parte di questa distanza è un effetto della didattica. In profondità, moltissima logica è teoria dell’ordine e moltissima teoria dei reticoli è logica cristallizzata in forma algebrica. La logica è (anche) una teoria dei reticoli.

Prendiamo un sistema logico. Le formule possono essere ordinate mediante l’implicazione, scegliendo opportunamente la convenzione. La congiunzione e la disgiunzione assumono allora il ruolo di operazioni reticolari. Il falso e il vero diventano estremi della struttura.

Se identifichiamo le formule logicamente equivalenti otteniamo un oggetto algebrico: l’algebra di Lindenbaum–Tarski. Nella logica proposizionale classica incontriamo algebre booleane. Nella logica intuizionista incontriamo algebre di Heyting. Nelle logiche modali, temporali, descrittive e dinamiche compaiono operatori addizionali, strutture relazionali, algebre booleane con operatori e costruzioni affini.

La deduzione può essere letta come ordinamento. La conseguenza come chiusura. La teoria come insieme chiuso — e, nelle opportune presentazioni algebriche, come filtro. L’equivalenza logica come congruenza. Non è una metafora suggestiva da usare alla lavagna. È struttura.

Ogni volta che diciamo “da queste premesse segue questa conclusione” stiamo implicitamente parlando di un operatore di conseguenza. Dal punto di vista strutturale, un tale operatore si comporta come un operatore di chiusura: prende un insieme di formule e restituisce tutto ciò che ne segue.

Le teorie sono precisamente gli insiemi chiusi rispetto a questa operazione. E gli insiemi chiusi, ordinati per inclusione, formano naturalmente strutture reticolari. Conseguenza, chiusura, ordine, reticolo.

Ancora la stessa figura.

A questo punto la logica smette di apparire come una raccolta di regolette sintattiche vecchie quanto Aristotele e diventa qualcosa di molto più interessante:

una geometria dell’inferenza.

3. Terzo continente: algebra universale e logica algebrica

Il passo successivo conduce direttamente all’algebra universale.

L’algebra universale non studia questo o quel particolare gruppo, anello, reticolo, monoide o semigruppo. Cerca la forma comune dietro queste costruzioni.

Che cosa significa avere un insieme dotato di operazioni? Che cosa significa che certe identità valgono? Che cosa sono termini, equazioni, sottostrutture, prodotti, omomorfismi, quozienti, congruenze? Quali proprietà dipendono dalla firma? Quali dalle identità? Quali sono preservate da prodotti, sottostrutture e immagini omomorfe?

La logica algebrica porta queste domande dentro i sistemi deduttivi.

La logica classica può essere rappresentata attraverso algebre booleane. Quella intuizionista attraverso algebre di Heyting. Varie logiche modali attraverso opportune espansioni algebriche.

La logica algebrica universale compie poi un passo ulteriore: studia sistematicamente quando e in quale senso un sistema deduttivo possa essere algebrizzato, quali informazioni deduttive corrispondano a informazioni equazionali, quali filtri logici corrispondano a congruenze e quali classi algebriche rappresentino determinate forme di ragionamento.

Qui i due linguaggi — logico e algebrico — non sono semplicemente accostati.

Spesso si traducono l’uno nell’altro.

Le formule diventano termini. Le equivalenze deduttive diventano congruenze. Le regole logiche diventano proprietà algebriche. Le teorie assumono comportamento filtrale. Le classi di modelli algebrici si organizzano in varietà o quasivarietà.

Naturalmente non tutte le logiche sono algebrizzabili allo stesso modo. Ed è proprio qui che la teoria si fa interessante: esistono gradi, condizioni, casi forti e casi deboli. Alcune logiche possiedono una controparte algebrica quasi perfetta; altre richiedono strumenti più fini; altre mostrano precisamente il punto nel quale la corrispondenza si incrina.

La lezione generale, però, rimane. La logica non vive isolata. Ha una struttura algebrica, ordinata, reticolare e modellistica.

4. Quarto continente: le dimostrazioni sono oggetti

Esiste poi un territorio che rimane quasi completamente invisibile alla maggior parte dei professionisti STEM: la teoria della dimostrazione.

Di solito si pensa alla dimostrazione come a un prodotto finito: un testo, una successione di passaggi, una giustificazione scritta di un teorema.

La logica moderna ha insegnato invece a guardare le dimostrazioni come oggetti matematici.

Non soltanto strumenti per raggiungere una verità, ma strutture formali che possono essere trasformate, normalizzate, confrontate e studiate.

Una dimostrazione possiede una forma. Una complessità. Regole di costruzione. Riduzioni. Possibili eliminazioni di passaggi intermedi. Contenuto computazionale.

Qui entrano Hilbert, Gentzen, Gödel, Herbrand, Kleene, Prawitz, Girard, Troelstra, Schwichtenberg, Wainer e molti altri. Non come medagliere storico da blog “scientifico”, non come namedropping per una sfilza di teoremi più o meno famosi da sciorinare in sede di esame, ma come coordinate di una geografia storica e concettuale.

Gentzen, attraverso il calcolo dei sequenti e l’eliminazione del taglio, mostra che le dimostrazioni hanno una dinamica interna.

Prawitz e la deduzione naturale mettono al centro la forma dell’inferenza e la normalizzazione.

Girard, attraverso la logica lineare, mostra che persino le risorse logiche possono essere trattate strutturalmente.

Per uno STEM abituato a pensare agli algoritmi come oggetti analizzabili, tutto questo dovrebbe essere quasi naturale.

Se un algoritmo può essere studiato in termini di struttura, costo, normalizzazione, trasformazione e correttezza, perché una dimostrazione dovrebbe essere soltanto il certificato finale destinato a convincere un lettore?

Anche la prova possiede un’architettura.

Proposizioni come tipi, dimostrazioni come programmi

Qui incontriamo una delle idee più profonde della logica del Novecento: la corrispondenza di Curry–Howard.

Le proposizioni possono essere viste come tipi e le dimostrazioni come programmi. Dimostrare una proposizione significa costruire un termine del tipo corrispondente. La normalizzazione della prova corrisponde all’esecuzione o alla semplificazione del programma.

L’implicazione corrisponde al tipo funzione. La congiunzione al prodotto. La disgiunzione alla somma. L’assurdo al tipo vuoto.

Non è la solita vaga analogia pedagogica da manuale undergrad americano. È una corrispondenza tecnica, rigorosa e straordinariamente fertile, che attraversa logica intuizionista, lambda-calcolo, teoria dei tipi, linguaggi funzionali e proof assistant quali Coq, Agda, Lean e Isabelle.

A questo punto la formula proofs as programs smette di essere uno slogan.

La dimostrazione è computazione. Il programma è dimostrazione. Il tipo è specifica.

La correttezza non deve necessariamente essere appiccicata al programma dopo la sua costruzione come certificazione esterna: può essere incorporata nella costruzione stessa dell’oggetto.

Per chi lavora con software, sistemi critici, linguaggi, compilatori e specifiche formali, questa è una conferma operativa — senza alcuna necessità di trasformare ogni ingegnere in uno specialista di teoria dei tipi.

Herbrand: dai quantificatori alla combinatoria

Accanto a Curry–Howard va ricordato il teorema di Herbrand, uno dei più grandi ponti tra logica del primo ordine, combinatoria e computazione.

In termini estremamente generali, il teorema mostra come, in opportune condizioni e forme, il problema logico del primo ordine possa essere riportato a famiglie di istanze proposizionali costruite dai termini del linguaggio.

Una parte del ragionamento quantificato viene così ricondotta a un problema combinatorio di istanziazione.

Questo non rende magicamente "facile" la logica del primo ordine FOL. Spiega però perché il legame tra quantificatori, termini, sostituzioni, alberi di ricerca, dimostrazione automatica e calcolo simbolico sia tanto profondo.

Herbrand è uno dei punti nei quali diventa evidente che la logica non è un ornamento filosofico.

È una tecnologia concettuale che trasforma problemi di conseguenza in problemi di costruzione, enumerazione, istanziazione e ricerca.

Dalla risoluzione ai tableaux, dai prover automatici ai sistemi di riscrittura, quel nucleo continua a riapparire.

5. Quinto continente: quanto “costa” un teorema?

Esiste poi una disciplina dal nome quasi paradossale: la reverse mathematics.

La matematica ordinaria procede, almeno idealmente, in avanti: scegliamo assiomi e regole e da questi dimostriamo teoremi.

La reverse mathematics rovescia la domanda.

Dato un teorema della matematica ordinaria, quali assiomi sono realmente necessari per dimostrarlo?

Non "quali assiomi usiamo tradizionalmente", magari in modo enormemente sovrabbondante, come sembrano suggerire certe monografie: genuflessione all'altarino dei Padri Fondatori, manciata di assiomi storici buttati lì senza la minima giustificazione logica come un reliquiario medievale, e poi via a testa bassa con definizione-teorema-dimostrazione-corollari-GOTO10, per 480 pagine.

Parliamo di quali assiomi servono davvero. Qual è la forza logica esatta del risultato?

È una domanda straordinaria perché costringe a guardare un teorema non soltanto come una proposizione vera, ma come un oggetto dotato di un peso fondazionale, dimostrativo e computazionale.

Un teorema di analisi, combinatoria, algebra, teoria degli ordini, teoria dei grafi o topologia può rivelarsi equivalente — sopra un opportuno sistema base — a un principio di comprensione, compattezza, ricorsione o scelta.

A quel punto il teorema smette di essere un risultato isolato. Diventa una misura tecnica della struttura logica necessaria per ottenerlo.

Il programma inaugurato da Harvey Friedman e sistematizzato in maniera canonica da Stephen Simpson ha mostrato quanto questa prospettiva sia fertile. Attorno a esso si intrecciano computabilità, proof theory, combinatoria, teoria dei modelli computabile, analisi costruttiva e il lavoro di numerosi logici contemporanei.

Il quadro classico opera spesso entro sottosistemi dell’aritmetica del secondo ordine, usata come laboratorio sufficientemente espressivo per codificare una quantità sorprendente di matematica ordinaria: insiemi di naturali, successioni, alberi, grafi numerabili, funzioni, relazioni e molte strutture discrete.

Dentro questo laboratorio emergono i celebri Big Five, cinque grandi sistemi assiomatici nei quali ricadono, per rigorose equivalenze sopra un sistema base, moltissimi teoremi della matematica corrente.

La reverse mathematics insegna così che i teoremi hanno una specie di fisiologia logica.

Alcuni sono assiomaticamente deboli ed effettivi. Altri richiedono principi non costruttivi, forme di compattezza, di comprensione o di ricorsione più potenti.

Non basta domandare se un teorema sia vero. Possiamo domandare quanto costa ottenerlo.

Per uno STEM il parallelismo dovrebbe essere immediato. In ingegneria chiediamo quanto costa un algoritmo: tempo, memoria, scalabilità, precisione, stabilità, robustezza.

La reverse mathematics pone la stessa domanda, su un altro livello:

• Quali risorse logiche sto consumando?
• Posso ottenere il risultato in un sistema assiomaticamente più debole?
• La dimostrazione contiene informazione computazionale estraibile?
• Utilizza principi non costruttivi eliminabili, oppure quei principi sono davvero indispensabili?

Qui il dialogo con il proof mining, associato in particolare al lavoro di Ulrich Kohlenbach, diventa naturale: da dimostrazioni apparentemente non costruttive, puramente esistenziali, si possono talvolta estrarre ugualmente limiti quantitativi, algoritmi, tassi di convergenza e altra informazione computazionale.

Ancora una volta la prova, la dimostrazione formale, non è soltanto garanzia di verità. È un oggetto da analizzare.

6. Sesto continente: dai linguaggi ai modelli

La logica, naturalmente, non è soltanto teoria delle dimostrazioni. È anche teoria dei modelli.

Se la proof theory guarda alle prove, la model theory guarda alle strutture nelle quali le formule vengono interpretate. Una formula non vive nel vuoto. Viene interpretata sopra un dominio, con relazioni, funzioni, costanti e operazioni.

La teoria dei modelli studia precisamente il rapporto tra linguaggi formali e strutture matematiche.

• Che cosa può esprimere un linguaggio?
• Quali strutture soddisfano una teoria?
• Quando due strutture sono indistinguibili dal punto di vista del linguaggio considerato?
• Che cosa significa definire una proprietà?
• Quali proprietà sono preservate da determinate costruzioni?
• Che cosa può essere detto all’interno di un formalismo e che cosa ne rimane necessariamente fuori?

Da Tarski a Robinson, da Łoś a Chang e Keisler, da Hodges a molte delle sistemazioni moderne, la teoria dei modelli ha trasformato queste domande in un enorme programma matematico.

Per uno STEM possiede inoltre un valore metodologico fondamentale: insegna a non confondere il linguaggio con la struttura.

• Una cosa è la sintassi con cui descriviamo un sistema. Un’altra è il sistema interpretato.
• Una cosa è una specifica. Un’altra è la classe dei modelli che la soddisfano.
• Una cosa è scrivere vincoli. Un’altra è capire quali strutture li realizzano.
• Una cosa è la deduzione sintattica. Un’altra è la soddisfacibilità semantica.

Questa distinzione è centrale per database, ontologie, formal methods, semantica dei linguaggi, knowledge representation, verifica e sistemi di regole.

Il caso decisivo delle strutture finite

E poi arriva la teoria dei modelli finiti. La teoria dei modelli classica ha lavorato con straordinaria potenza su strutture infinite. L’informatica, però, lavora continuamente con oggetti finiti: database, grafi, automi, macchine a stati, istanze combinatorie, strutture di memoria, modelli finiti di sistemi.

La finite model theory nasce precisamente dall’esigenza di studiare la logica sopra strutture finite, dove molte proprietà della teoria classica cambiano radicalmente. Qui incontriamo Fagin, Immerman, Vardi, Libkin, Grädel, Ebbinghaus, Otto, Dawar e molti altri.

Ed emerge una delle connessioni più eleganti dell’informatica teorica moderna: quella tra espressività logica e complessità computazionale.

Il teorema di Fagin, per esempio, lega NP alla logica esistenziale del secondo ordine sulle strutture finite. Il filone Immerman–Vardi mette in relazione logiche a punto fisso e calcolo in tempo polinomiale sopra strutture finite opportunamente ordinate.

A questo punto la domanda non è più soltanto:

“Quanto tempo serve per calcolare questa proprietà?”

Diventa anche:

“Quale linguaggio logico è abbastanza potente per descriverla?”

Non soltanto algoritmi e macchine, dunque.

Formule e strutture.

Non soltanto esecuzione.

Definibilità.

Una struttura finita può essere un grafo. Il grafo può essere una relazione binaria. La relazione può essere rappresentata da una matrice booleana. La matrice descrive una struttura interrogabile mediante formule. Le formule appartengono a un linguaggio. Il linguaggio possiede una certa potenza espressiva. Quella potenza può essere collegata a una classe di complessità.

In pochi passaggi abbiamo attraversato grafi, relazioni, matrici booleane, logica, model theory e computational complexity.

Questo è il tipo di connessione che una formazione per compartimenti stagni tende a rendere invisibile.

7. Settimo continente: grafi, matrici e combinatoria

Lo stesso chiarimento va fatto per la teoria dei grafi.

Nei corsi ordinari, soprattutto in quelli destinati all’informatica applicata, essa viene spesso ridotta a un repertorio di algoritmi: BFS, DFS, cammini minimi, spanning tree, ordinamento topologico, componenti connesse, flussi.

Tutto indispensabile.

Ma identificare la teoria dei grafi con questo prontuario sarebbe come identificare l’analisi matematica con una tabella di primitive.

Un grafo è anzitutto una struttura relazionale.

Può rappresentare adiacenza, dipendenza, compatibilità, raggiungibilità, causalità, precedenza, conflitto, comunicazione, trasformazione, inclusione, copertura.

Può diventare automa, sistema di transizione, modello di Kripke, diagramma di dipendenza, rete di implicazioni, struttura di incidenza, oggetto combinatorio estremale.

E il legame con ordine e reticoli è immediato.

Un ordine parziale può essere rappresentato mediante il suo diagramma di Hasse. La raggiungibilità in un DAG può generare un ordine. Dipendenze tra moduli, grafi di precedenza, sistemi di build e gerarchie di tipi possiedono naturalmente una struttura ordinata.

La chiusura transitiva trasforma informazione relazionale locale in informazione globale.

La teoria dei matroidi porta ancora oltre questa unificazione, astraendo simultaneamente fenomeni di indipendenza che appaiono nell’algebra lineare e nella teoria dei grafi.

Non bisogna fermarsi ai pallini e alle linee.

Un grafo può essere una relazione.

Una relazione può essere una matrice booleana.

La composizione di relazioni può diventare un prodotto matriciale sopra il semianello opportuno.

Una relazione di raggiungibilità può generare un ordine.

Un ordine può generare un reticolo di ideali.

Un reticolo può rappresentare concetti, teorie e chiusure.

Ancora una volta, non abbiamo cambiato necessariamente oggetto.

Abbiamo cambiato rappresentazione.

Non tutte le matrici abitano in R

Anche le matrici, entrando in questo mondo, cambiano natura.

Non sono necessariamente matrici reali piene di coefficienti da sommare e moltiplicare.

Possono essere matrici booleane, matrici di incidenza, matrici di adiacenza, matrici su semianelli, matrici tropicali, matrici che rappresentano relazioni, vincoli, coperture, dipendenze e compatibilità.

La potenza di una matrice booleana può descrivere cammini. La moltiplicazione matriciale può diventare composizione di relazioni. La chiusura transitiva può essere vista come saturazione.

La distinzione scolastica tra “algebra lineare” e “matematica discreta” comincia così ad assottigliarsi.

Ciò che conta non è la forma tipografica rettangolare della matrice.

Conta la struttura algebrica nella quale quella matrice vive.

Una matrice reale, una matrice booleana, una matrice di incidenza di un ipergrafo e una matrice oggetti-attributi della FCA possono sembrare graficamente identiche.

Sono tutte tabelle rettangolari.

Ma il loro significato dipende dalle operazioni ammesse, dalle equivalenze considerate, dalle chiusure generate, dai morfismi che intendiamo preservare.

Lo STEM maturo non domanda soltanto:

“Quali sono gli elementi della matrice?”

Domanda:

“Quale struttura sta rappresentando?”

Questa è alfabetizzazione strutturale.

8. La combinatoria come laboratorio delle rappresentazioni

Lo stesso vale per la combinatoria delle famiglie finite.

A prima vista può sembrare un settore composto da problemi quasi ricreativi: quanti sottoinsiemi, quante configurazioni, quali intersezioni, quali estremi, quali coperture.

Sotto la superficie troviamo però vettori booleani, strati del cubo discreto, ordini per inclusione, anticatene, famiglie intersecanti, ipergrafi, matrici di incidenza, vincoli di margine, problemi estremali.

La medesima entità cambia continuamente pelle:

• insieme;
• vettore 0/1;
• riga di una matrice;
• punto del cubo booleano;
• elemento di un poset;
• iperarco;
• assegnamento logico;
• caratteristica di una proprietà.

Vedere questi passaggi non è estetica matematica.

È capacità progettuale.

Quando una famiglia di insiemi diventa una matrice booleana, possiamo applicare strumenti matriciali.

Quando diventa un ipergrafo, possiamo usare la teoria degli ipergrafi.

Quando diventa un sistema di vincoli, possiamo ricorrere a SAT, CSP e tecniche combinatorie.

Quando diventa un reticolo, possiamo studiare chiusure e implicazioni.

Quando diventa una struttura logica, possiamo chiederne modelli e definibilità.

Quando diventa un oggetto computazionale, possiamo rappresentarlo, comprimerlo, enumerarlo e manipolarlo.

La forza non consiste nel cambiare nome alle cose.

Consiste nel cambiare punto di vista scegliendo quello più adatto, più efficiente e più potente, senza perdere l’oggetto.

9. Dal manuale al mondo reale

È precisamente questo ciò che manca quando la formazione procede per silos.

Lo studente vede “grafi” in un corso, “logica” in un altro, “algebra” in un altro, “database” in un altro, “machine learning” in un altro.

Poi entra nel mondo reale e trova sistemi ibridi nei quali tutto è intrecciato: dati relazionali, vincoli logici, grafi di dipendenza, tassonomie, gerarchie, modelli probabilistici, regole, ontologie, modelli predittivi, pipeline software, controlli di coerenza, sicurezza, verifica e tracciabilità.

A quel punto la domanda non è più:

“So calcolare?”

La domanda decisiva diventa:

“So riconoscere la struttura?”

Viviamo in un’epoca nella quale la matematica numerica ha ottenuto un’enorme visibilità attraverso machine learning, ottimizzazione, deep learning, transformer e modelli generativi.

Ed è perfettamente giusto che sia così.

Algebra lineare, calcolo numerico, probabilità, statistica, teoria dell’informazione e ottimizzazione sono indispensabili.

Ma l’esplosione dell’intelligenza artificiale non rende meno importante la matematica discreta e logica.

La rende più necessaria.

Ogni sistema sufficientemente potente deve infatti essere rappresentato, controllato, verificato, interrogato, limitato, spiegato e integrato.

Un modello statistico può produrre output probabilisticamente plausibili.

Un sistema industriale, giuridico, medico, finanziario, aerospaziale o safety-critical richiede però anche vincoli, logiche, tracciabilità, coerenza, auditabilità, gerarchie di autorizzazione, ontologie, classificazioni e invarianti.

Richiede di sapere che cosa può accadere.

Che cosa non deve accadere.

Quali stati siano raggiungibili.

Quali transizioni siano lecite.

Quali proprietà vengano preservate.

Quali dipendenze siano ammesse.

Quali astrazioni siano corrette.

Queste non sono domande puramente statistiche.

Sono domande strutturali.

10. Due grammatiche, non due matematiche

Il futuro non appartiene a chi contrappone simbolico e subsimbolico, numerico e discreto, statistico e logico. Non appartiene a chi ancora si ostina a citare frasi come "La combinatoria? Bassifondi della topologia" in tutte le sue spocchiose varianti.

Appartiene a chi sa far dialogare rappresentazioni diverse e diversi punti di vista.

Ma per farli dialogare bisogna possedere entrambe le grammatiche.

Una è ubiqua nella formazione contemporanea: analisi, numeri, matrici reali, probabilità, statistica, ottimizzazione.

L’altra, per decenni trattata quasi da Cenerentola nonostante tradizioni scientifiche gigantesche — dalla scuola magiara a Gian-Carlo Rota, da Wilf a Zeilberger e moltissimi altri — è diventata con la computazione una delle protagoniste indiscutibili del nostro tempo.

Non basta conoscere le reti neurali se non si comprendono grafi, logiche, relazioni, ordini, tipi e vincoli.

Non basta conoscere la statistica se non si capisce che molte forme di informazione non nascono come variabili numeriche, ma come dipendenze, categorie, attributi, inclusioni e regole.

Non basta conoscere l’algebra lineare se non si comprende che una matrice può rappresentare qualcosa di radicalmente diverso da una trasformazione lineare sopra uno spazio vettoriale reale.

11. La matematica delle forme

La matematica senza numeri è, in questo senso, la matematica delle forme.

Forme esatte. Rigorose. Trasformabili.

È la matematica che ci dice quando due descrizioni rappresentano la stessa struttura.

Quando una classificazione è una chiusura.

Quando una gerarchia è un ordine.

Quando una tabella è una relazione.

Quando una relazione è un grafo.

Quando un grafo è una matrice.

Quando una matrice è definita su un semianello, e il significato di somma, prodotto e composizione dipende dalla struttura algebrica scelta.

Quando una famiglia di insiemi è un reticolo.

Quando un reticolo diventa algebra della logica.

Quando una logica possiede una semantica algebrica.

Quando una teoria è un insieme chiuso di conseguenze.

Quando una prova contiene un programma.

Quando un teorema possiede una precisa forza assiomatica.

Quando una classe di complessità può essere vista come potenza espressiva.

In questa prospettiva le discipline non si giustappongono.

Si illuminano reciprocamente.

La teoria degli insiemi fornisce un linguaggio di base.

Le relazioni descrivono connessioni, equivalenze, ordini e composizioni.

I grafi rendono visibili e computabili molte strutture relazionali.

Le matrici booleane rendono operative relazioni finite.

La combinatoria studia configurazioni, famiglie, estremi e vincoli.

La teoria dell’ordine organizza gerarchie e dipendenze.

La teoria dei reticoli studia combinazioni, chiusure, ideali, filtri e congruenze.

La formal concept analysis trasforma contesti oggetti-attributi in reticoli di concetti.

L’algebra universale generalizza operazioni, identità, omomorfismi e quozienti.

La logica studia conseguenze, modelli, dimostrazioni e definibilità.

La teoria della dimostrazione studia le prove come strutture.

La reverse mathematics misura la forza assiomatica dei teoremi.

La teoria dei modelli studia il rapporto tra linguaggi e interpretazioni.

La teoria dei modelli finiti porta tutto questo nel mondo delle strutture discrete effettivamente manipolate dalla computazione.

L’informatica teorica traduce questa architettura in automi, linguaggi, algoritmi, complessità, verifica e rappresentazioni canoniche.

Non sono province isolate.

Sono una costellazione.

12. Vedere la costellazione

Il termine “costellazione” è appropriato.

Le stelle sono distinte. Il disegno appare soltanto quando si vedono le connessioni.

Chi osserva un singolo punto luminoso vede un corso universitario.

Chi vede le connessioni vede una mappa.

Ed è questa mappa che serve oggi.

Serve perché i sistemi moderni sono complessi, ibridi e stratificati.

Serve perché la computazione non è soltanto calcolo numerico, ma manipolazione di strutture simboliche e discrete.

Serve perché l’informazione non è soltanto dato, ma relazione tra dati.

Serve perché la conoscenza non è soltanto predizione, ma organizzazione di concetti e implicazioni.

Serve perché la correttezza non è soltanto performance, ma rispetto di proprietà formali.

Serve perché l’astrazione non è un ornamento filosofico: è lo strumento con il quale controlliamo la complessità.

Uno STEM realmente formato non dovrebbe uscire dal proprio percorso sapendo soltanto diagonalizzare matrici, stimare parametri, addestrare modelli, calcolare probabilità o manipolare tensori.

Dovrebbe sapere anche che un ordine parziale non è un dettaglio; che un reticolo non è una stranezza; che una relazione di equivalenza è una macchina concettuale potentissima; che una chiusura è una forma generale di conseguenza; che una matrice booleana può rivelare aspetti che una matrice reale semplicemente non rappresenta.

Dovrebbe sapere che una famiglia di insiemi può nascondere un intero universo combinatorio.

Che una gerarchia ben costruita è matematica.

Che una classificazione rigorosa è già teoria.

Che un’implicazione tra attributi può essere importante quanto una regressione.

Dovrebbe sapere che un teorema non possiede soltanto una dimostrazione, ma anche una forza logica; che risultati apparentemente lontani possono richiedere le stesse risorse assiomatiche; che una dimostrazione può contenere informazione computazionale.

Dovrebbe sapere che la logica non è un rito scolastico di tavole di verità, ma una scienza delle conseguenze, dei modelli, delle prove, delle strutture e della computazione.

Dovrebbe sapere che una specifica può diventare un tipo, un programma un termine, la correttezza una costruzione.

Che un database finito è una struttura logica.

Che una query può essere una formula.

Che un linguaggio ha una potenza espressiva.

Che una proprietà può essere computabile ma non esprimibile nel formalismo che abbiamo scelto.

In definitiva, dovrebbe sapere che la matematica non è soltanto calcolo di quantità.

È scienza delle strutture possibili.

La quantità misura.

La struttura organizza.

La quantità risponde a:

“Quanto?”

La struttura risponde a domande differenti:

“Com’è fatto?”

“Da che cosa dipende?”

“Che cosa implica?”

“Che cosa conserva?”

“Che cosa cambia se identifico questi elementi?”

“Quali trasformazioni rispettano l’oggetto?”

“Quale rappresentazione rende il problema trattabile?”

“Quale linguaggio è abbastanza potente per descriverlo?”

“Quale prova certifica ciò che affermo?”

“Quali modelli soddisfano questa specifica?”

Sono domande diverse.

Entrambe necessarie.

La grande povertà di molta formazione tecnica contemporanea consiste nell’avere assolutizzato la prima famiglia di domande e relegato la seconda agli specialisti.

Ma nel mondo reale, e soprattutto nel mondo computazionale, la seconda famiglia è ovunque.

Ogni architettura software, sistema di dati, linguaggio, protocollo, modello di autorizzazione, ontologia, knowledge graph, sistema di verifica, compilatore, motore inferenziale, algoritmo combinatorio e pipeline di controllo della qualità è una risposta strutturale prima ancora che numerica.

Per questo la matematica senza numeri non è una matematica minore.

È la parte della matematica che insegna a vedere l’ossatura.

E chi vede l’ossatura vede molto più lontano.

Per chi volesse approfondire, propongo un minimo di bibliografia essenziale.

Logiche non standard: un giro turistico

Tra i quasi settecento sistemi formali studiati da logici matematici, filosofi formali e specialisti STEM, rientrano a pieno titolo non solo le logiche classiche, ma anche quelle "non standard", che rappresentano oggi il cuore vivo della logica applicata.

Queste logiche espandono, modulano o talvolta sopprimono vari assiomi della logica classica al fine di modellare situazioni complesse, agenti cognitivi fallibili, dinamiche normative e scenari epistemici realistici.

Facciamo un po' di turismo, senza sacchi a pelo:

 

LOGICHE MODALI

- Aletiche: necessità e possibilità in senso metafisico. Sistemi K, T, S4, S5.

- Deontiche: trattano obbligo, divieto e permesso.

- Temporali: prima, dopo, sempre, talvolta, da ora in poi...

- Epistemiche e Doxastiche: modellano conoscenza e credenza (anche fallibile).

- Dinamiche: modellano il cambiamento delle credenze.

NOTA: per chi non avesse ben chiaro il senso dell'aggettivo "metafisico" usato sopra, affermazioni da pagina uno capitolo uno come:

"Esiste una realtà materiale, oggettiva, esterna alla mente"

"Le leggi della fisica sono le stesse ovunque e sempre"

"L’osservazione sperimentale e strumentale può fornire verità su tale realtà"

NON sono asserzioni "scientifiche", ma presupposti epistemologici e ontologici — cioè, asserzioni metafisiche. Possono essere condivise dalla scienza in quanto suo fondamento operativo, ma non sono da essa deducibili, né confutabili sperimentalmente.

Sono il telaio ontologico su cui si tessono le reti semantiche delle teorie. Come diceva Popper, la scienza ha bisogno di una metafisica di sfondo, che però non è scientificamente provabile, bensì assunta per reggere la coerenza del sistema inferenziale e dell'apparato osservativo sperimentale intersoggettivo.

Stranamente questa banalità sembra spesso perdersi per strada, ma rimane un dato di fatto: chi ingenuamente pensa che "la scienza non fa metafisica" confonde l’attività tecnica dello scienziato con l’epistemologia che la rende possibile. E spesso è proprio questo fraintendimento a generare lo scientismo becero e dogmatico contro cui i filosofi analitici e gli storici della scienza — da Reichenbach a Quine, da Putnam a Dorato, da Koyré a Israel — hanno combattuto per decenni. Il termine "metafisico" non deve ovviamente essere letto come banale e restrittivo sinonimo giornalistico o colloquiale di "esoterico" o "spirituale", ma in senso tecnico rigoroso e letterale.

Per altri semplici esempi di differenza tra asserzioni ontologiche di base e banali ipotesi non falsificabili, si veda anche il capitolo introduttivo di "Il viaggio nel tempo e altre pazzie" di Robert Ehrlich, Einaudi.

 

LOGICHE INTENSIONALI

Analizzano non solo ciò che è vero, ma il "come" è vero. Utili per proposizioni attitudinali ("Alice crede che...", "Bob desidera che..."). Imprescindibili per filosofia del linguaggio e IA simbolica.

 

LOGICHE PARACONSISTENTI

Tollerano contraddizioni senza crollo inferenziale (no explosion). Fondamentali per basi dati incoerenti, diritto, situazioni conflittuali, teoria dei giochi.

 

LOGICHE FUZZY E RETICOLARI

Permettono valori di verità graduati ("più o meno vero", "abbastanza falso"). Essenziali in linguaggio naturale, robotica, sistemi di controllo, gestione di paradossi quantitativi sul modello del sorite (il mucchio: quando un mucchietto di cellule diventa un feto? Quando un girino diventa una rana? Quanto cacchio è una "modica quantità"? Non è certo roba che si possa lasciare ai burocrati legiferanti).

 

LOGICHE PROBABILISTICHE

Verità come grado di credibilità: sono la base simbolica dell’inferenza bayesiana e della predizione, ovvero della IA come la conoscete oggi.

 

LOGICHE NON-MONOTONE E INFERENZIALI

In questi sistemi formali nuove informazioni possono invalidare conclusioni precedenti. Simulano il ragionamento umano in condizioni dinamiche. Molte teorie scientifiche hard (ossia predittive) sono modellate su queste logiche.

 

BELIEF REVISION E COMMON SENSE REASONING

Teorie rigorose su come mantenere e aggiornare coerentemente un sistema di credenze. Strutturate da quadri assiomatici come AGM (Alchourrón, Gärdenfors, Makinson), tre veri e propri pezzi da novanta della logica formale.

 

N.B.: TUTTE queste logiche sono rigorose, assiomatizzate e implementabili.

NON sono chiacchiere affumicate alla Hegel o Schopenauer. NON SONO alternative "soft" o speculative, ma strumenti di lavoro formali in IA, linguistica computazionale, agent theory, etica algoritmica, epistemologia formale.

Sono "non-standard" ma NON sono alternative alla logica classica: la completano, ne esplorano i margini, la rendono adatta a modellare mondi reali, dinamici, imperfetti.

 

Non si deve cadere nella trappola di chi crede che la logica sia solo quella "che (non) si fa all'Università" nei corsi di base. I logici oggi operano tra semantiche modali, teoria della revisione, topologie epistemiche, reticoli fuzzy, logiche multiagente e inferenze non monotone.

La logica non è dogma. È struttura adattiva. Ed è proprio nella fallibilità, nell’incertezza, nella revisione che mostra la sua vera potenza: anche e soprattutto nelle scienze sperimentali, che non essendo formali e non maneggiando nel concreto infiniti attuali vivono di inferenza, ragionamento probabilistico, teorie vere fino al controesempio, paradigmi e falsificazione/confermabilità.

 

PER INIZIARE A CAPIRCI QUALCOSA

1. Italo Palladino – "Logiche non standard", Laterza, 1994.

Denso, agile, rigoroso. Tratta modali, deontiche, paraconsistenti e fuzzy.

2. Italo e Sara Palladino – "Geometrie non euclidee e logiche non classiche", Editori Riuniti, 1997.

Connessione fra spazio, deduzione e alternative logiche.

3. Mario Piazza – "Introduzione alla logica modale", Carocci, 2004.

Strutturato con chiarezza. Sistemi K, T, S4, S5 più estensioni epistemiche.

4. Massimo Mugnai – "Filosofia della logica", Laterza, 2004/2020.

Approccio storico-filosofico. Dalle logiche classiche alle intensionali.

5. Giorgio Sandri – "Logica per la filosofia", ETS, 2006.

Ottimo per introdurre modali, epistemiche e deontiche.

6. Giuseppe Longo (a cura di) – "La logica tra scienza e filosofia", Bollati Boringhieri, 1998.

Raccolta di saggi su crisi e alternative alla logica classica. Contributi di Scott, Girard ecc.

7. Mauro Dorato – "Modalità e temporalità. Un raffronto tra le logiche modali e le logiche temporali", Il Bagatto, Roma, 1994.

Testo raro e fondamentale. Filosofia formale della logica modale e temporale.

8. Nicola Grana – "Logica deontica e logiche paraconsistenti", vari saggi e atti.

ETS e riviste accademiche. Approccio assiomatico e semantico solidissimo.

 

Per chi vuole andare un po' oltre l'imparaticcio su Aristotele e la Scolastica, la prof di filosofia zitella del liceo, le antiquate fissazioni bourbakiste della prof di matematica dell'ITIS (spesso laureata in fisica o biologia...), l'assistente svogliato del molto eventuale corsettino trimestrale di logica del primo ordine (con le dispense in slide e i test a crocette, fatto giusto per avere qualche credito)... e iniziare a capire seriamente come funziona il ragionamento formale automatico e razionale nel XXI secolo.

Filosofia da diporto e da asporto

Parafrasando Paolo Rossi e il suo "Si fa presto a dire pirla": si fa presto anche a dire "filosofia". 

Ne abbiamo già discusso, e ne parleremo ancora, temo, perché le obiezioni degli STEM (che vengano da un Liceo scientifico o piuttosto dall'ITIS) sono sempre le stesse quando si inizia ad affrontare la componente filosofica delle discipline formali. Per molti, troppi lettori e studenti andragogici la parola continua a evocare la tristissima storia delle idee ammannita nell'ora di "filosofia": una successione ordinata di autori, scuole, formule memorabili come slogan, grandi opposizioni e passaggi canonici, con l'aggravante che quasi sempre viene arrestata proprio là dove la filosofia contemporanea comincia davvero. Il Wiener Kreis, la fenomenologia, la filosofia continentale, l’analisi del linguaggio, la logica matematica e la filosofia della scienza non sono l’ultima cornice di una vicenda conclusa: sono, semmai, alcune delle soglie attraverso cui la filosofia entra nella sua modernità tecnica.

Ancora meno la filosofia può essere identificata con la sua immagine pubblica più rumorosa: l’intellettuale schierato, il commentatore organico, la presenza stabile nei salotti televisivi e nelle grandi pagine d’opinione. Quella figura appartiene alla sociologia della comunicazione culturale, non alla definizione della disciplina. Può parlare di filosofia, può usare parole filosofiche, può perfino occupare lo spazio pubblico in nome della filosofia; ma non per questo rappresenta la filosofia nel suo insieme, e tanto meno la filosofia formale.

 

Una conseguenza decisiva della modernità è infatti la specializzazione. La filosofia, come la matematica, la medicina, l’ingegneria o le scienze sperimentali, non è più un blocco indifferenziato. Nessuno confonderebbe l’ingegneria delle grandi opere, dei ponti, delle navi, dei treni e delle infrastrutture con l’ingegneria elettronica, informatica o embedded. Nessuno confonderebbe il neurologo con l’urologo, il fisiatra con lo psichiatra, il dermatologo con l’anatomopatologo. Se un dolore ricorrente alla caviglia compare quando si appoggia il piede a terra, non si cerca normalmente un andrologo, una dietologa o un internista. Si cerca il reparto pertinente.

 

Lo stesso vale, a maggior ragione, per la filosofia. Se il problema riguarda verità, validità, conseguenza, dimostrazione, completezza, decidibilità, modello, riferimento, conferma o falsificabilità, non ci si rivolge genericamente a “un filosofo”, come se il nome designasse una competenza uniforme. Si entra in un territorio preciso: filosofia della logica, filosofia della matematica, filosofia della scienza, semantica formale, teoria dei modelli, teoria della dimostrazione, epistemologia formale. Altri settori della filosofia trattano problemi diversi, con strumenti diversi e con criteri diversi di controllo. E se il barone della fisiatria normalmente non saprebbe che pesci prendere davanti ad un rush cutaneo, se non spedirvi dalla dermatologa, state pur certi che il filosofo morale o l'ermeneuta, mediamente, è proprio il meno adatto a dirimere una questione di semantica modale temporale o di confermabilità.

Il giudizio del non specialista che parla da fuori del proprio campo appartiene spesso più alla sociologia accademica che alla valutazione razionale. Il prestigio acquisito in un settore non si trasferisce automaticamente a un altro. Quando ciò accade, non siamo davanti a una superiore sintesi dello spirito, ma alla consueta fallacia d’autorità: l’autorevolezza reale in un dominio viene impropriamente usata come garanzia in un dominio differente.

 

Fuori dai radar generalisti e dalla formazione scolastica ordinaria esiste dunque una costellazione di campi tecnici nei quali il logico e il filosofo formale sono due facce della stessa moneta. La loro relazione non è diversa, per struttura, da quella tra fisico e chimico quando si dividono, con ampie zone di sovrapposizione, lo studio delle interazioni atomiche e molecolari. Il logico non può ignorare che cosa significhino verità, validità, modello e conseguenza; il filosofo formale non può trattare questi concetti senza conoscere gli strumenti logici che li rendono determinati.

 

La locuzione usata è più che appropriata: la filosofia formale e tecnica non è separabile dalla logica più di quanto lo siano le due facce di una moneta di conio. La logica non è un accessorio metodologico, né una decorazione simbolica applicata dall’esterno a problemi già costituiti. È l’infrastruttura stessa entro cui quei problemi vengono resi trattabili: verità, validità, conseguenza, dimostrazione, modello, riferimento, identità, possibilità, necessità, definibilità, decidibilità. La filosofia formale formula le domande; la logica ne fornisce il linguaggio operativo, il banco di prova e spesso la forma stessa della risposta.

Queste domande non sono facoltative. Chi pratica seriamente la logica non può dichiarare indifferenza verso nozioni come verità, validità, conseguenza, dimostrazione, modello, soddisfacimento, riferimento. Non si tratta di aggiungere filosofia dall’esterno a un calcolo già autosufficiente; si tratta di comprendere il significato degli strumenti che si usano. Chi non comprende queste distinzioni non sta facendo logica in senso pieno: sta solo manipolando notazione. Non si può evitare di "sporcarsi le mani" con gli aspetti filosofici.

 

Oggi il filosofo formale dimostra teoremi, costruisce semantiche, confronta sistemi, studia modelli, analizza nozioni di prova, conseguenza, definibilità, computabilità, riferimento e decisione. Maneggia teorie simboliche raffinate e si muove in una rete di specializzazioni sottili: logiche modali, non classiche, paraconsistenti, intuizioniste, deontiche, epistemiche, temporali, rilevanti; teoria dei modelli, teoria della dimostrazione, ontologia formale, filosofia della computazione, teoria dell’argomentazione, belief revision, formal concept analysis. Qui la filosofia non è una retorica generale sulla cultura, ma una meccanica fine della razionalità.

 

Questa articolazione permette anche di comprendere la piramide aletica della modernità. Al vertice stanno logica e matematica, dove verità, validità e conseguenza vengono trattate come invarianti formali: una volta fissati linguaggio, regole, semantica e assiomi, ciò che segue segue. Subito sotto si collocano le scienze fisico-matematiche, nelle quali la forma teorica deve incontrare misura, esperimento, idealizzazione e predizione. Seguono le scienze statistiche e causali, dove il vero assume il profilo della stima, della robustezza, dell’intervallo, della probabilità condizionata e dell’identificazione. Più oltre troviamo le discipline descrittive, storiche e ricostruttive, nelle quali contano documenti, tracce, classificazioni, abduzioni e migliori spiegazioni disponibili. Infine, nei domini della prassi, della norma e del dissenso, la razionalità prende la forma dell’argomentazione, della decisione sotto incertezza, della revisione delle credenze e della gestione pubblica degli impegni.

 

La gerarchia non distingue saperi nobili e saperi minori. Distingue regimi diversi di necessità, controllo, evidenza e invarianza. Un teorema non possiede lo stesso statuto di una legge fisica; una legge fisica non possiede lo stesso statuto di una regolarità statistica; una ricostruzione storica non possiede lo stesso statuto di un esperimento ripetibile; una decisione pratica sotto informazione incompleta non possiede lo stesso statuto di una dimostrazione. Ma nulla di questo autorizza il relativismo. Significa soltanto che la razionalità moderna non è monolitica: dispone di strumenti differenti per oggetti differenti.

In questa architettura, anche la questione della scientificità non si riduce alla parola d’ordine della falsificabilità. Popper ha avuto il merito di imporre il problema del rischio empirico di una teoria: una costruzione che non espone mai se stessa a possibili urti con l’esperienza non appartiene ancora, in senso pieno, alla scienza empirica. Carnap aveva però mostrato che il controllo scientifico passa anche attraverso confermabilità, linguaggi osservativi e teorici, regole di corrispondenza, gradi di sostegno empirico. Quine ha reso il quadro meno ingenuo, ricordando che non si sottopone mai a prova un enunciato isolato, ma un intero blocco di teoria, ipotesi ausiliarie, strumenti e assunzioni di sfondo. Kuhn ha aggiunto la dimensione storico-disciplinare: le teorie vivono dentro paradigmi, pratiche, esempi, tecniche e criteri condivisi.

 

Lakatos permette di evitare la falsa alternativa tra falsificazione istantanea e relativismo dei paradigmi. Una teoria scientifica non è una proposizione isolata che cade al primo controesempio, ma un programma di ricerca con un nucleo, una cintura protettiva di ipotesi ausiliarie e una traiettoria progressiva o degenerativa. Feyerabend, se letto con disciplina, ricorda invece che il metodo scientifico non è un catechismo unico e immobile: la storia reale della scienza è più ricca, più irregolare e più inventiva delle sue ricostruzioni scolastiche. Questo non autorizza il relativismo, ma argina ulteriormente il feticismo del "metodo scientifico" unico, salvifico, dogmatico già combattuto da Kuhn.

 

Il quadro si allarga ulteriormente quando si entra nella matematica e nell’informatica. Con Lakatos, la matematica stessa appare come attività fallibile, correttiva, storicamente raffinata attraverso congetture, controesempi, revisioni e riformulazioni. Con Chaitin, i limiti formali assumono una veste algoritmico-informazionale: incomprimibilità, casualità, complessità e indecidibilità mostrano che anche nel regno della dimostrazione esistono frontiere non riducibili a semplice routine deduttiva. Con Bishop e il costruttivismo, infine, la prova torna a essere costruzione effettiva: non basta affermare che un oggetto esiste; occorre indicare come ottenerlo, manipolarlo, verificarlo.

 

Da qui il passaggio all’informatica teorica e alla computer science è naturale. Proof assistants, model checking, SAT e SMT solving, verifica formale, calcolo simbolico, algoritmi probabilistici ed esperimenti computazionali mostrano una forma moderna di fallibilismo operativo: non la resa della ragione, ma la sua disciplina dentro procedure esplicite, controllabili, ripetibili, correggibili. La razionalità formale non si oppone all’esperimento; quando entra nel dominio computazionale, lo reinventa.

 

La filosofia della logica è dunque soltanto una parte di un arcipelago più vasto. Ogni disciplina formale matura produce, volente o nolente, il proprio duale filosofico: la logica genera domande su verità, validità e conseguenza; la matematica su prova, oggetto, struttura e infinito; l’informatica teorica su algoritmo, computazione, correttezza e complessità; la probabilità su conferma, inferenza, rischio e decisione; il linguaggio su riferimento, significato, contesto e intensionalità; la fisica teorica su legge, modello, misura, simmetria e spiegazione. Questi duali non sono ornamenti esterni, ma forme di autocoscienza tecnica delle rispettive discipline.

 

L’arcipelago è inoltre interconnesso. La filosofia della matematica comunica con la logica; la logica comunica con l’informatica teorica; la computazione comunica con semantica, prova e complessità; la probabilità comunica con decisione, causalità e conferma; l’ontologia formale comunica con linguaggio, modello, identità e mereologia. Non esistono compartimenti stagni, ma regioni specializzate di un medesimo spazio concettuale. La filosofia formale nasce proprio in questo spazio: non come commento letterario sulle scienze formali, ma come indagine tecnica sulle loro condizioni di significato, validità, applicazione e limite.

Il modo migliore per correggere un equivoco non è sempre confutarlo frontalmente. Talvolta basta aprire il cofano. Chi si avvicina alla filosofia immaginando di trovarvi un repertorio di opinioni generali, suggestioni scolastiche, affumicature, posture culturali o nebbie televisive deve poter vedere, senza proclami, la macchina reale: verità tarskiana, semantica dei modelli, validità, conseguenza, completezza, decidibilità, mondi possibili, logiche non classiche, teoria dell’argomentazione, revisione delle credenze, decisione razionale, strutture concettuali. Non occorre deridere l’equivoco: basta mostrare il dodici cilindri.

 

Questa è la filosofia tecnica, la filosofia formale. Non esaurisce tutta la filosofia, né pretende di sostituire le forme storiche, ermeneutiche, politiche, estetiche o fenomenologiche dell’indagine filosofica. Ma quando si parla di verità, prova, conseguenza, modello, significato, riferimento, conferma, norma e decisione, essa è il reparto competente. Giudicarla attraverso l’immagine scolastica o televisiva della filosofia è come giudicare l’ortopedia dopo aver sbagliato piano in ospedale ed essere finiti alla nursery: il reparto ortopedia non lo si è neppure visto.

 

Detto questo, esistono filosofi volutamente affumicati, sopravvalutati, alfieri di una cattiva filosofia (spesso pure fuori tempo massimo), filosofi fraintesi, filosofi che avevano ben poco da dire e l'hanno detto nel peggior modo possibile. Esiste cattiva filosofia, così come esiste cattiva scienza, sulla quale però è più facile ridere e divertirsi tramite iniziative come i premi IG-Nobel e altra ironia nerdy. Il punto è che non si può buttare il proverbiale bambino assieme all'acqua sporca.